Тема «Числовые характеристики вариационного ряда»
Задача 1. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.
в) Определите средний размер (среднее число членов) семьи;
г) Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей вариации (дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации).
Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
Решение:
в) Рассчитаем средний размер (среднее число членов) семьи. Так как частоты отличны друг от друга, расчет средней арифметической произведем по формуле (6.9).
Средний размер семьи - 5,06 человека.
г) Так как частоты - неодинаковы, для расчета дисперсии размера семьи используем формулу (6.12).
Дисперсия размера семьи - 3,6964 чел2.
Найдем среднее квадратическое отклонение размера семьи по формуле (6.13).
Среднее квадратическое отклонение размера семьи - 1,9226 чел.
Найдем коэффициент вариации размера семьи по формуле (6.14).
Коэффициент вариации составляет 38%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность семей является неоднородной, чем и объясняется высокая колеблемость размера семьи в данной совокупности.
Ввиду неоднородности семей, попавших в выборку, использование средней арифметической для характеристики наиболее типичного уровня размера семьи не вполне оправданно - средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности. В качестве характеристик наиболее типичного уровня размера семьи в данной совокупности лучше использовать моду или медиану.
Задача 2. Имеются данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности :
-
Предприятия с годовой мощностью, тыс. тонн
Количество предприятий
до 500
27
500 – 1000
11
1000 – 2000
8
2000 – 3000
8
свыше 3000
2
б) Рассчитайте среднюю мощность предприятий;
в) Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Объясните полученные результаты, сделать выводы.
Решение.
б) Рассчитаем среднюю мощность предприятий цементной промышленности.
Так как частоты интервалов - разные, используем для расчета средней арифметической формулу (6.9). При расчете числовых характеристик интервального вариационного ряда в качестве значений признака принимаются середины интервалов.
Рассчитаем середины интервалов:
Теперь расчет средней арифметической примет вид:
Средняя мощность предприятий цементной промышленности составила 964,2857 тыс. тонн.
Следует отметить, что использование с той или иной целью средней арифметической, рассчитанной по данным интервального ряда с открытыми интервалами, может привести к серьезным ошибкам. Это связано с тем, что открытые интервалы закрываются условно, в действительности значения признака у объектов, попадающих в открытые интервалы, могут выходить далеко за их условные границы.
В связи с этим, для оценки наиболее типичного уровня изучаемого признака по данным интервального ряда с открытыми интервалами лучше использовать моду или медиану.
в) Оценим колеблемость мощности предприятий цементной промышленности.
Так как частоты - неодинаковы, для расчета дисперсии используем формулу (6.12)
Дисперсия мощности предприятий - 862563,7755 (тыс. тонн)2.
Найдем среднее квадратическое отклонение мощности предприятий по формуле (6.13)
Среднее квадратическое отклонение мощности предприятий - 928,7431 тыс. тонн.
Найдем коэффициент вариации по формуле (6.14)
Коэффициент вариации годовой мощности предприятий цементной промышленности составляет 96,31%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность предприятий является неоднородной, в ее состав вошли и крупные и мелкие предприятия, что и обусловило высокую колеблемость годовой мощности.
Следовательно, использование средней арифметической для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности предприятий цементной промышленности неверно - средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности. Это еще раз подтверждает необходимость использования моды или медианы для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности данной совокупности предприятий цементной промышленности.