- •15. Элементы теории функций комплексного переменного
- •15.1. Комплексные числа, действия над ними
- •15.2. Понятие функции комплексного переменного
- •15.3. Производная функции комплексного переменного.
- •15.4. Аналитические функции
- •15.5. Ряд Лорана. Особые точки и их классификация.
- •15.6.Таблица понятий и формул по теме «Комплексные числа»
15.2. Понятие функции комплексного переменного
Определение. Пусть даны две плоскости комплексных чисел: плоскость Z точек z = x + i y и плоскость W точек υ, где x, y, u, υ - действительные переменные.
Рассмотрим некоторое множество точек М в плоскости Z и множество D в плоскости W.
Если каждому значению z М по какому-то закону поставлено в соответствие значение другого комплексного переменного D, то говорят, что на множестве М определена функция комплексной переменной z и пишут
= f (z).
Так как z = x + i y, υ, то функция f (z) может быть записана в виде
f (z) = u (x, y) + i υ (x, y),
u = Re f (z), υ = Im f (z).
Определение. Функция = f (z) называется однозначной, если каждому значению z М можно поставить в соответствие только одно значение D, в противном же случае функция = f (z) называется многозначной.
Будем откладывать значения z на одной комплексной плоскости, а значения - на другой.
Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представить как отображение множества М плоскости Z на множество D плоскости W.
Пусть функция = f (z) однозначна на множестве М и двум различным точкам М всегда соответствуют различные точки D, то такое отображение принято называть взаимно однозначным или однолистным.
Точки множества D называют образами соответствующих точек множества М при отображении
= f (z),
а точки множества М – прообразами соответствующих точек множества D.
Определение. Область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся линией называется односвязной.
К односвязным областям принадлежит вся плоскость. Другие примеры односвязных областей приведены на рисунке. Сами области заштрихованы. Если граница области входит в область задания, то она изображается сплошной линией, если нет пунктиром.
Ограниченная замкнутая область Ограниченная открытая область
Определение. Область называется двусвязной, если она ограничена двумя замкнутыми непересекающимися и несамопересекающимися линиями.
К примеру, область будет двусвязной, если внутри рассматриваемой части плоскости имеется одна точка или односвязная ограниченная область, не принадлежащая к области задания функции.
Двусвязные области:
Ограниченная двусвязная область
Н еограниченная двусвязная область
Многосвязные области:
Трехсвязная область Четырехсвязная область
О бласть, представленная ниже не является связной:
15.3. Производная функции комплексного переменного.
Определения, формулы и теоремы в изучении производной и дифференциала функции комплексного переменного практически полностью совпадают с аналогичными определениями, формулами и теоремами в случае действительного переменного. Но дифференцируемые функции комплексного переменного по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного обладают многими дополнительными свойствами.
Определение. Пусть однозначная функция =f(z) определена в точке z и ее окрестности.
Производной функции f(z) в точке z называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует:
(15.18)
В формуле (15.18) z стремится к нулю по любому закону (по любому пути). Точка z +z может приближаться к точке z по любому из бесконечного множества различных лучей и для существования производной для функции f(z) комплексного переменного требуется совпадение всех этих пределов.
|
(В случае функции действительного переменного, если функция y=f(x) имеет производную, это означает, что существует предел |
отношения при стремлении точки х+Dх к точке х только по двум направлениям: справа (х>0) и слева (х<0) и эти пределы совпадают.)
Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой, а также моногенной или голоморфной в этой точке.