- •13.Ряды
- •13.1. Числовые ряды Основные понятия числового ряда
- •Геометрическая прогрессия
- •Свойства сходящихся рядов
- •Знакоположительные ряды Достаточные признаки сходимости
- •Знакочередующиеся ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Остаток ряда и его оценка.
- •Исследования знакочередующегося ряда на абсолютную (условную) сходимость.
13.Ряды
13.1. Числовые ряды Основные понятия числового ряда
Определение . Пусть дана бесконечная числовая последовательность u1, u2,¼,un,¼. Выражение вида
u1+u2+u3+¼+un+¼= (13.1.1)
называется числовым рядом,числа u1, u2,¼,un,…- членами ряда, член un -общим членом ряда ( это формула, . по которой для любого номера n можно определить соответствующий член ряда).
Определение. Сумма конечного числа п первых членов ряда называется его n-й частичной суммой:
Sn=u1+u2+u3+¼+un.
Рассмотрим частичные суммы ряда (1)
S1= u1, S2= u1+u2, S3= u1+u2+u3, ¼, Sn= , ¼
Определение. Если существует конечный предел при п®∞ последовательности частичных сумм членов данного ряда
,
то ряд (13.1.1) называется сходящимся, а число S-его суммой:
S = .
Если же данный предел не существует или бесконечен (т.е. Sn®∞ при п®∞ ), то ряд (13.1.1) расходится и суммы не имеет.
Геометрическая прогрессия
Определение 4. Геометрической прогрессией называется ряд
a+aq+aq2+¼+aqn+¼= , (13.1.2)
где q-знаменатель ряда (действительное число)
Этот ряд сходится при |q|<1 и расходится при |q|³1.
Действительно, согласно известной формуле при q≠1
Sп=
а) если |q|<1, то при п®∞, тогда имеем
ряд сходится и его сумма .
б) в случае |q|>1: при п®∞ и Sn=±∞.
в) при q=1 ряд (13.1.2) имеет вид: a+a+a+¼= , Sn=na, , т.е. ряд расходится.
г) q=-1 ряд (13.1.2) имеет вид: a-a+a-а+¼ В этом случае
предела не имеет и ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов
Теорема 13.1. Если сходится ряд , полученный из данного ряда (13.1.1) путём отбрасывания его первых п членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится ряд (13.1.1), то сходится и ряд, полученный из данного ряда путём отбрасывания первых п членов. Т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его первых членов.
Теорема 13.2. Если ряд (13.1.1) сходится и его сумма равна S, то и ряд
, (13.1.3)
где с-некоторое число, также сходится, и его сумма равна c×S.
Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и , то и ряд
(13.1.4)
тоже сходится и его сумма равна S± .
Необходимый признак сходимости
Теорема 13.4. Если ряд (13.1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании п, т.е.
. (13.1.5)
Доказательство. По условию ряд (13.1.1) сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда
Sn=u1+u2+¼+un и Sn-1=u1+u2+¼+un-1.
Отсюда Sn- Sn-1= un. Так как Sn®S и Sn-1®S при n®∞, то
.Теорема доказана.
Следствие. Если предел общего члена ряда не равен нулю при n®∞, то данный ряд расходится.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Далее будет доказано, что так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя .