1. Випадкові величини та їх розподіл
До цих пір ми мали справу з випадковими подіями. Подія є якісною характеристикою випадкового результату випробування. Але цей випадковий результат випробування можна характеризувати і кількісно, тобто вважати, що випадкова величина – це змінна, значення якої залежить від випадку. Якщо намагатися дати цьому означенню більш точного змісту, то потрібно говорити про функцію, значення якої визначаються результатами випробування. Але результати випробування – це точки простору елементарних подій , тому природно називати випадковою величиною функцію Х=Х(w), визначену на просторі елементарних подій . Наведемо деякі приклади.
1. Випробування полягає в киданні правильного грального кубика; простір елементарних подій є .={w1,w2,w3,w4,w5,w6} (wі – випадання грані в і очок). Нехай Х(wі)=і, тобто кожному киданню кубика поставимо у відповідність число очок, що випало при цьому киданні.
2. Проводиться серія з n послідовних незалежних випробувань Бернуллі. Кожна елементарна подія – це деяка послідовність успіхів і невдач в n випробуваннях. Позначимо через Х(w) число успіхів в елементарній події w; Х(w) може набути будь-якого цілого значення від 0 до n.
3. Випробування полягає в тому, що послідовно підкидається симетрична монета до першого випадання цифри; простір елементарних подій у цьому випадку нескінченний, а саме зліченний: ={w1,w2,....,wn,...}, деw1=ц,w2=гц,w3=ггц, wn=г...гц (г – випадання герба, ц – випадання цифри). Нехай Х(wі)=і (тобто Х – це число підкидань монети до першого випадання цифри); можливі значення Х – будь-які натуральні числа.
4. Випробування полягає в тому, що стрілець робить один постріл по мішені. Простір елементарних подій - множина всіх точок множини мішені. Для кожної точки wÎ позначимо через Х(w) відстань від точки w до центра мішені (тобто Х – відстань від точки, в яку попала куля, до центра мішені); Х – може набирати будь-якого невід’ємного значення.
У наведених прикладах розглянуто ряд випадкових величин – функцій на множині елементарних подій. Але з теоретико-ймовірносної точки зору задання тільки самої функції ще недостатньо для характеристики випадкової величини, треба ще мати змогу відповідати на запитання, зв’язані з ймовірностями значень, що їх набуває функція Х(w). Так, у прикладах 1-3, легко знайти ймовірності набування окремих значень. У першому прикладі . У другому прикладі обчислюється за формулою Бернуллі; у третьому прикладі, очевидно,
1. Дискретна випадкова величина та її закон розподілу ймовірностей
Дискретною випадковою величиною називається така величина, множина можливих значень якої або скінченна, або зліченна (множина, елементи якої можуть бути пронумеровані), або це така випадкова величина, що приймає лише окремі (ізольовані) одна від одної значення, які можна пронумерувати. Складемо числову модель такої випадкової величини.
Нехай несумісні події w1, w2, …wn утворюють повну групу. Введемо поняття випадкової величини таким чином: якщо відбувається подія wі, то випадкова величина Х набирає значення хі (і=). Отже Х є функція на множині подій w1…wn (і=), тобто Х(wі)=хі.
Тепер, замість того, щоб говорити “відбулася подія wі”, ми скажемо “відбулася подія Х=хі “. Нехай Р(wі) – ймовірність появи події wі Тепер цю ж ймовірність позначимо так: Р(Х=хі)=рі, тобто Р(wі)=Р(Х=хі)=рі.
Після такого означення випадкової величини Х, замість того, щоб говорити «маємо повну групу несумісних подій w1, w2,…wn з ймовірностями Р(w1), Р(w2),…Р(wn)», скажемо «маємо випадкову величину Х, яка набирає значень х1, х2,…хn з ймовірностями р1, р2, ...рn». При цьому .
Найпростішою формою опису випадкової величини є таблиця, яку називають рядом розподілу випадкової величини.
Отже законом розподілу дискретної випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.
Випадкові величини надалі будемо позначати великими буквами латинського алфавіту Х, Y, Z, ..., а їх можливі значення – малими х, y, z,...
Для наочності ряд розподілу задають графічно: можливі значення випадкової величини відкладають на осі абсцис, а на осі ординат – відповідні ймовірності. Одержані точки з’єднують відрізками прямих і таку фігуру називають полігоном розподілу.