Практичне заняття № 7

Тема: Визначення ймовірнісних та числових характеристик

випадкових величин

Оцінки параметрів розподілу

Мета заняття: Засвоїти методи визначення ймовірнісних та числових характеристик випадкових величин. Засвоїти методи визначення оцінок параметрів розподілу.

Короткі теоретичні відомості

1. Випадкові величини і розподіли

Нехай заданий деякий ймовірнісний простір , де – простір елементарних подій деякого випадкового експерименту, – -алгебра подій, – ймовірність, тобто числова функція, визначена на , яка задовольняє аксіомам Колмогорова.

Випадковою величиною називається числова функція від елементарної події , якщо подія належить -алгебрі , тобто визначена ймовірність .

Кожній випадковій величині ставиться у відповідність деяка числова множина – множина значень випадкової величини.

Якщо множина значень випадкової величини дискретна, то випадкова величина називається дискретною.

Якщо множина значень випадкової величини неперервна, то випадкова величина називається неперервною.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке правило, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями.

Закон розподілу є повною характеристикою випадкової величини. Він може мати різні форми: функція розподілу, щільність розподілу, таблиця ймовірностей окремих значень випадкової величини та ін.

Закон розподілу дискретної випадкової величини задається таблицею

			...		...
			...		...

при умові (умова нормування).

Закон розподілу неперервної випадкової величини задається за допомогою кусково–неперервної функції – щільності ймовірності, так, що для будь-яких справедлива рівність:

,

при умові (умова нормування).

Функцією розподілу ймовірностей довільної випадкової величини називається функція, яка представляє розподіл величини : значення цієї функції в точці дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуває значення менше :

.

2. Основні числові характеристики розподілу

Математичне сподівання випадкової величини

– для дискретної ВВ,

– для неперервної ВВ.

Дисперсія

– означення,

– робоча формула для обчислення дисперсії.

Зауваження. Дисперсія не може бути від’ємною величиною .

Середнє квадратичне відхилення

.

3. Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіли

Найбільш вживаними в криптологічних застосуваннях є біноміальний, рівномірний і нормальний розподіли.

3.1 Біноміальний розподіл ймовірностей

Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннями є числа успіхів в схемі Бернуллі при випробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі

, ( , ).

Закон розподілу:

	0	1	...		...
			...		...

Позначається біноміальний розподіл так: , де і – параметри біноміального розподілу.

Функція розподілу:

Числові характеристики:

, , , .

Найімовірніше значення випадкової величини , розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність:

.