- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •2.Свойства неопределенного интеграла
- •§2. Основные методы интегрирования
- •1. Замена переменной интегрирования и подстановка
- •2. Интегрирование по частям
- •§3. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •1. Основные понятия
- •2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
- •§4. Интегрирование тригонометрических выражений
- •§5. Интегрирование простейших иррациональностей
- •§6. Определённый интеграл
- •1. Понятие определённого интеграла
- •2.Формула Ньютона-Лейбница.
- •3. Свойства определенного интеграла.
- •§7. Вычисление площадей плоских фигур
2. Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, тогда d(u·v)=v·du+u·dv, udv=d(u·v)–v·du
Интегрируя левую и правую части данного равенства, получим
(3)
Это и есть формула интегрирования по частям.
Примеры.
Вычислить .
Положим u=lnx, dv=dx. Тогда du=d(lnx)= ·dх , v=x. Следовательно,
.
Вычислить .
Положим u=x, dv=exdx. Положим du=dх, = , v=еx. Значит,
§3. Интегрирование дробно-рациональных функций
1. Основные понятия
Определение. Дробно-рациональной функцией ( или рациональной дробью) называется отношение двух многочленов.
Рациональная дробь называется правильной (неправильной), если степень многочлена, стоящего в числителе меньше (больше или равна) степени многочлена, стоящего в знаменателе, например, дроби: ; ; - правильные, а дроби: ; - неправильные.
Неправильную рациональную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель столбиком и выделив из дроби целую часть, т.е. многочлен. Поэтому будем рассматривать задачу интегрирования правильной рациональной дроби, т.к. интегрирование многочлена не представляет труда. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа так называемых простейших дробей следующих 4-х типов:
1. 2. 3. 4. ,
где A, M, N, a, p, q – действительные числа, ℓ = 2, 3…, квадратный трехчлен х2+рх+q –не имеет действительных корней.
2. Интегрирование простейших рациональных дробей
1. = =А =Аln|t|+C=Aln|x-a|+C.
2. =A A A =
= , (k-1).
3. = =
= = + = =
= ln|t2+α2|+ arctg +C= ,
где .
3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
Пусть дана правильная рациональная дробь: (1) . Без ограничения общности можно считать, что коэффициент у старшего члена многочлена Q(х) равен 1, т.к. в случае, когда он равен какому-то другому числу, можно разделить числитель и знаменатель дроби на это число. После чего у получившегося в знаменателе многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным 1. Будем предполагать, что коэффициенты, входящие в дробь многочлена – действительные числа. Для многочленов с действительными коэффициентами имеет место соответствующее разложение на множители. Пусть для определенности знаменатель Q(х) разлагается на множители следующим образом: (2) Q(х)=(х-а)к·(х2 +рх+q)ℓ , где -q<0.
Теорема. Для дроби (1), знаменатель которой имеет вид (2), справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей.
(3) = +…+ + …+
где А1, А2 ,… Ак, М1, N1,… Ml , Nl - постоянные действительные числа.
Из формулы (3) видно, что линейному множителю х-а знаменателя Q(х) соответствует в разложении (3) простейшие дроби типов (1), (2), а квадратному множителю: х2+рх+q – простейшие дроби типов (3) и (4). При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратичному) равно показателю степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители.
Одним из наиболее простых методов нахождения коэффициентов при разложении правой рациональной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов.
Пример. = = =
= =
2х+3=х2·(А+В)+х·(А+В+С)+А+С
Из равенства двух многочленов следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях х.
х2: А+В=0,
х: А+В+С=2,
хо : А+С=3.
Отсюда находим:
В=-А, С=3-А,
А–А+3–А=2, А=1, В=-1, С=2.
Тогда = .
= +
Вычислим второй интеграл. Преобразуем числитель таким образом, чтобы в нем находилась производная знаменателя и свободный член
(х2+х+1)=2х+1; (2х+1)dх=d(х2+х+1)
=- = =
=- =
=- ln|х2+х+1|+C+ =- ln(х2+х+1)+ arctg
Тогда =ln|x+1|- ln(х2+х+1)+ arctg +C=
= + arctg +C.