Глава 2. Наближені розв'язки рівнянь

2.1. Постановка завдання

У цьому розділі будуть розглянуті шляхи вирішення нелінійних рівнянь з одним невідомим. Кожне таке рівняння можна представити у вигляді

(2.1)

Область визначення функції f називаємо також областю визначення рівняння.

Число t називається коренем рівняння (2.1) або нулем функції f, якщо при підстановці його замість неправильного перетворюється на вірну рівність. Вирішити рівняння - це значить знайти безліч всіх його коренів. Два рівняння називаються еквівалентними, або односильними, якщо у них однаково безлічі коренів.

Корені рівняння можуть бути дійсними і комплексними. Тут будемо займатися пошуком лише дійсних ізолюючих коренів. Корінь називається ізольованим, якщо існує такий непорожній інтервал, в якому цей корінь єдиний.

Шкільні та вузівські курси математики знайомлять з класами рівнянь, які можна вирішити точно за допомогою аналітичних перетворень та спеціальних формул. Однак точні методи не є основними в практиці обчислень.

По-перше, рівнянь, для яких існують точні методи рішення, порівняно мало. Наприклад, не вдається вирішити точно рівняння , де - многочлен загального вигляду ступеня? n≥5. По-друге, багато точних методів настільки трудомісткий, що застосовувати їх недоцільно. По-третє, дуже часто точне рішення рівнянь і не є необхідним: проблема пошуку кореня вважається вирішеною, якщо знайдено його наближення з заданим ступенем точності.

Процес наближеного розв'язання рівнянь розпадається на два етапи: 1) відділення коренів; 2) уточнення коренів.

В и з н а ч е н н я 2.1. Будемо говорити, що корінь t відділений на відрізку [a; b) (a <b), якщо t є (a; b) та інших коренів в цьому відрізку нема. При цьому [а; b] називаємо відрізком ізоляції кореня t.

Відокремити корені рівняння (2.1) - означає для кожного з коренів знайти свої відрізки ізоляції.

В и з н а ч е н н я 2.2. Пошук наближеного значення кореня з точністю до заданого достатньо малого числа ε> 0 називається уточненням цього кореня.

Отже, завдання уточнення буде вирішено, якщо знайдеться число таке, що . Тоді з точністю до ε. Якщо відрізок [а; b] ізоляції кореня t знайдений, то будь-яке число з нього можна взяти як наближений корінь. Наприклад, , b, . Нехай довжина відрізка. Оскільки , кінці відрізка є наближеннями до t з точністю до h. Легко перевірити, що має точність до , тобто має кращу характеристику точності.

Чим менше довжина відрізка ізоляції, тим вище точність приближення, однак за допомогою використовуваних для відділення коренів прийомів (див. 2.2) отримати відрізок досить малої довжини важко. Необхідні спеціальні методи уточнення коренів. Далі в розділі буде розглянуто кілька таких методів, які реалізують такі два способи пошуку наближеного кореня із заданою точністю ε>0:

1. Послідовно зменшуючи довжини відрізка ізоляції кореня по якомусь правилу, відшукується відрізок [a; b] такий, що t ∊ [a; b] і . Тоді наближеним коренем необхідної точності буде середина відрізка [a; b]: /2 .

2. Будується послідовність чисел що сходиться до кореня t. Як тільки виявиться , можна покласти . Така послідовність називається послідовністю наближення, а визначає її метод послідовних наближень.

Перший спосіб зручний тим, що дозволяє легко встановлювати завершення процесу уточнення, оскільки відрізки ізоляції та їх довжини на кожному кроці обчислень відомі.

Безпосередню перевірку умови з другого способу проводити не вдається, бо невідомий точний корінь t У той же час для кожного методу послідовних наближень є можливість отримати нерівності виду

(2.2)

Тут - числове вираження, значення якого при кожному n характеризують ступінь близькості наближення до кореня, забезпечуваєму даними методом. З (2.2) випливає, що за умову закінчення процесу наближень можна взяти нерівність: .

Нерівність (2.2) дозволяє рішати і задачу визначення абсолютної похибки кожного наближення , бо зрозуміло, що .

Зауваження. Для того щоб похибки обчислень і округлень не чинили істотного впливу на ступінь точності результатів, всі обчислення треба вести або точно, або з однією-двома запасними цифрами. Нехай, наприклад, потрібно знайти наближений корінь рівняння з трьома вірними цифрами після десяткової коми (ε = 0,0005). Якщо при цьому використати наближення 𝜋 ≈ 3,14, то задана точність не буде досягнута. Тут число 𝜋 слід округлити принаймні до чотирьох вірних цифр після десяткової коми: 𝜋≈3,1416. Треба також мати способи обчислення значення з не меншому точністю.

Вправа

1. Дано рівняння

Знайдіть всі корні цього рівняння і визначте, які з них є ізольованими, а які ні.