Русская силлогистика

Силлогизм - это умозаключение , в котором из двух посылок, связанных общим(средним) термином, выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов.

Классическая силлогистика[1] не имеет никакого отношения к здравому смыслу и математике, обременена множеством ненужных определений, законов, правил и т.п. и не воспринимается учащимися. Кроме того, классическая силлогистика далеко не всегда корректна. Поэтому автору пришлось разработать силлогистику здравого смысла[2 - 13]. Поскольку фундаментом этой силлогистики послужили работы русских логиков[14 - 19], то она получила название русской силлогистики, или русской логики.

Для общеразговорной логики вполне достаточно трёх или даже двух базовых суждений (силлогистических функторов):

1. Все X суть Y(Axy);

2. Ни один X не есть Y(Exy);

3. Некоторые X суть Y(Ixy);

Для создания истинно математической силлогистики необходимо прежде всего аналитически описать все силлогистические функторы. До сих пор ни в одном учебнике нет таких формул. Поскольку функторы описывают множества, то для их отображения были созданы круги Эйлера и диаграммы Венна. Они не решили поставленной задачи. Пришлось ввести скалярные диаграммы определённого вида и применить к ним формальный синтез логических функций[3, 4, 12]. Таким образом был построен базис силлогистики.

Все x суть y(Axy).

Традиционное представление этого суждения изображено на скалярной диаграмме. Ширина скалярной диаграммы определяет объём универсума. Под универсумом понимается "мир вещей", или мир понятий, включающий в себя содержимое всех терминов рассматриваемого силлогизма или отдельного суждения.

1 0

x =====------

1 0

y =======----

Из скалярных диаграмм видно, что для переменных ху имеют место состояния 00, 01 и 11, т.е. на этих наборах функция Аху принимает значение 1. Состояние 10 отсутствует, следовательно Аху = 0. Эту информацию занесём в таблицу истинности.

xy | Axy

----|-----

00 | 1

01 | 1

10 | 0

11 | 1

По таблице истинности синтезируем[3,4,12] логическую функцию Axy:

Axy = (xy')' = x'+y

Здесь и далее апостроф означает отрицание.

Ни один x не есть y(Exy).

Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.

1 0

х =====------

0 1

у ------=====

xy | Exy

----------

00 | 1

01 | 1

10 | 1

11 | 0

Из таблицы имеем:

Exy = (xy)' = x'+y'

Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении работ Порецкого П.С.

Некоторые x суть y.

Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию". По образу и подобию великого русского геометра не менее великий русский логик Васильев Н.А. разработал "воображаемую логику". Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике, тем более, что даже в работах Васильева частному суждению Ixy уделено недостаточное внимание. Функтор Ixy имеет не менее 10 вариантов реализации[5 -7, 10,12]. Рассмотрим лишь наиболее "популярные" из них.

Второй вариант суждения Ixy(русский функтор) представлен рисунке.

x' x

-----=======

y' y y'

a)---======---

y y'

b)========----

Из скалярных диаграмм видно, что переменные ху для варианта а) могут одновременно принимать значение 00, а для варианта б) - нет. Это типичная ситуация "может быть", т.е третье значение (i) трёхзначной логики[2,5 - 7, 10,12].

xy | Ixy

----------

00 | i

01 | 1

10 | 1

11 | 1

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y+ix'y'

Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот функтор называется Аристотелевским.

x' x

------======

y y'

a)========---

y' y y'

b)---======---

y' y

c)---========

y' y

d)-------====

xy | Ixy

----------

00 | i

01 | i

10 | i

11 | 1

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = xy+i(x'+y')

Восьмой вариант функтора Ixy(функтор Васильева Н. А. ).

Великий русский логик лишь сформулировал требования к частно-утвердительному функтору. На основании этих требований были решены системы логических уравнений и построены скалярные диаграммы.

x' x

------======

y' y y'

---======---

xy | Ixy

----------

00 | 1

01 | 1

10 | 1

11 | 1

Ixy = x+y+x'y' = 1

Под базисом будем понимать определённый набор функторов Аху, Еху, Ixy .В общеразговорной логике все суждения построены в базисе Васильева, поскольку именно он отражает логику здравого смысла. Этот базис имеет следующее аналитическое представление:

Axy = x'+y = (xy')'

Exy = x'+y' = (xy)'

Ixy(8) = x+y+x'y' = 1

,где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения. С помощью этого базиса можно представить любой другой базис, заменив скалярные диаграммы. Для фиксации и компактного описания введем операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда для частно-утвердительного суждения могут быть получены следующие описания и аналитические выражения [5 - 12]:

9. Ixy(1) = Axy & Ax'y = x

10. Ixy(2) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) = x+y+ix'y' - русский функтор

11. Ixy(3) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) || Axy || Ayx = xy + i(x'+y') - функтор Аристотеля

12. Ixy(4) = Ixy(8) || Ayx = x+y'+ ix'y

13. Ixy(5) = Ixy(8) || Ayx || (Ax'y & Ay'x) = x+ix'

14. Ixy(6) = (Ax'y & Ay'x) = x+y

15. Ixy(7) = Ixy(8) || Axy || (Ax'y & Ay'x) = y+iy'

16. Ixy(8) = x+y+x'y' = 1 - функтор Васильева

На основе базиса силлогистики были разработаны алгоритмы анализа и синтеза силлогизмов[5-9, 12].