- •10) Равномерное и показательное распределения нсв: функция распределения, плотность, основные параметры распределения, числовые характеристики, вероятность попадания на интервал.
- •12) Распределение χ2 Пирсона, f- распределение Фишера, t- распределение Стьюдента; основные параметры этих распределений, графики.
- •13) Неравенства Маркова и Чебышева, лемма о среднем арифметическом случ.Величин.
- •14)Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
- •18)Графическое представление выборки:
- •20. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:
- •21. Методы нахождения оценок: метод моментов
18)Графическое представление выборки:
Гистограмма: Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной и высотами (плотность частоты), называется гистограммой частот.
Полигон частот: Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки , называется полигоном относительных частот.
19. Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке: (3.6). Смещенной называется оценка, при которой условие (3.6) не выполняется.
Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Состоятельной называется статистическая оценка типа , которая при стремится к оцениваемому параметру.
20. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:
Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборке объема n:
Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании: «исправленная дисперсия»
Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при известном математическом ожидании а генеральной совокупности:
Состоятельная смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:
Свойства точечных оценок:
1о. . 2о. а) б) .
3о. Если , где с – некоторая константа, то а) ; б) , где .
21. Методы нахождения оценок: метод моментов
Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра оценку . Пусть , , — выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент
|
(3) |
и функция была обратима в области . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения
Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (3) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный:
Чаще всего в качестве функции берут . В этом случае
и, если функция обратима в области , то
Можно сказать, что мы берем в качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным.
Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия — еще один разумный способ построения оценки неизвестного параметра. Состоит он в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение , максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку . Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.
Решим сначала, что такое «вероятность получить данную выборку», т.е. что именно нужно максимизировать. Вспомним, что для абсолютно непрерывных распределений их плотность — «почти» (с точностью до ) вероятность попадания в точку . А для дискретных распределений вероятность попасть в точку равна . И то, и другое мы будем называть плотностью распределения . Итак,
22. Интервал , в который с вероятностью р попадает параметр , называется доверительным интервалом параметра с уровнем доверия р,т.е.
Квантилем уровня р называется такое число xp, для которого выполняется равенство
Для оценки M и D используют следующие квантили:
– квантиль распределения Стьюдента;
– квантиль распределения Пирсона, значения которых приведены в Приложениях (табл. П.5, П.4 соответственно).
Теорема.Пусть задано число Тогда при достаточно большом объеме выборки параметры М и D имеют следующие доверительные интервалы:
Число – вероятность ошибки Ι рода, называется уровнем значимости. Обычно при фиксированном объеме выборки уровень значимости задан. Снижение вероятностей ошибок Ι и ΙΙ рода возможно за счет увеличения объема выборки.
.
23.
Или
23) Интервальные оценки математического ожидания а и дисперсии D нормально распределенной генеральной совокупности по выборке объема n с надежностью 1*. При известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности , где значение аргумента функции Лапласа , при котором
или , где точность оценки.2*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки )
, где квантиль распределения Стьюдента уровня p с k степенями свободы (находится по таблице).
3*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении
. 4*. При известном математическом ожидании а
24)Проверка статистических гипотез о виде закона распределения с помощью критерия Пирсона х^2: Статистическая гипотеза – это предположение относительно того, каков закон распределения некоторой случайной величины, каковы величины независимых параметров закона распределения случайной величины и т.д.
Выдвигаем гипотезу . Вычисляем по выборке меру расхождения эмпирических частот и теоретических частот , соответствующих гипотезе , где теоретическая вероятность попадания в i-й интервал, вычисленная в условиях гипотезы .
Находим по таблице распределения Пирсона квантиль , где m – число интервалов вариационного ряда, r – число параметров распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
Если , то гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.