- •5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними
- •9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение
- •15. Предел числовой последовательности.
- •16. Предел функции, его геометрическая интерпретация, действия над пределами.
- •17. Первый и второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые величины, их свойства, эквивалентность.
- •19. Раскрытие неопределённостей
- •20. Непрерывность функции.Основные определения, теоремы
- •21. Точки разрыва
- •22. Свойство непрерывных функций на сегменте
- •23. Определение производной
- •24. Правила дифференцирования
- •25. Дифференциал функции
- •26. Производные высших порядков
- •27. Правило Лопиталя.
- •28. Применение производных к исследованию
- •30. Теорема Лагранжа, коши
- •31, Экстремум функции
- •32. Первообразная функции, интеграл и его свойства
- •33.Таблица интегралов
- •34. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям).
- •35. . Интегрирование рациональных дробей.
- •36.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •37. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •38. Интегрирование иррациональностей.
- •39. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •40. Формула Ньютона- Лейбница. Свойства определенного интеграла.
- •41. Методы вычислений определенного интеграла( непосредственное, подстановкой, по частям).
- •42. Приложения вычислений определенного интеграла ( вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины кривой).
- •57. Дифференциальные уравнения 1 порядка, задача Коши.
- •58 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •59 Однородные ду первого порядка
- •60 Ду, допускающие понижение порядка.
- •2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •3. Уравнения, однородные относительно .
- •4. Обобщенно - однородные уравнения.
- •5. Уравнение в точных производных.
- •62 Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •63. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
- •71. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
- •72. Различные определения вероятности.
- •73. Теорема умножения вероятностей.
- •74. Схема Бернулли повторных испытаний. Формула Бернулли.
- •75. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •77. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики.
- •78.Законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный.
- •79. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
- •80. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
27. Правило Лопиталя.
Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют отыскание предела , когда функция непрерывна вблизи точки , но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в формулу записи этой функции значения приводит к выражению неопределенного вида:
Теперь, опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли — Лопиталя для раскрытия неопределенностей, использующее производные.
Основными видами неопределенностей являются два: и .
Остальные виды неопределенностей, как увидим дальше, приводятся к основным двум видам: и .
1 случай. Неопределенность вида (при ).
Примем ; тогда функции и будут непрерывными в точке .
2 случай. Неопределенность вида (при ).
Правило Бернулли — Лопиталя не применимо, если не . Но отсюда еще не следует, что не существует предел отношения самих функций, т. е. . Последний может и существовать. Но он не может только быть в этом случае найден по правилу Бернулли—Лопиталя.
28. Применение производных к исследованию
Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Функцияy=f(x) убывающая на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции
x1 < x2, то f(x1) > f(x2).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) постоянная на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a), (c, +∞) – убывает; (a, b) – постоянная; (b, c) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].
Доказательство.
1.Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и
Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а
Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим
, то есть f '(x)≥0.
2.Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c (x1, x2), что . По условию f '(x)>0, x1 – x2>0 , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.
Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.
Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.
29. Теорема Ферма, Ролля . Если функция непрерывное промежутке , в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю:
Доказательство. Предположим, что есть наибольшее значение; в случае, когда — наименьшее значение, доказательство аналогично.
При достаточно малых [когда точка принадлежит промежутку ] независимо от знака , т. е. как для положительных, так и для отрицательных . Деля на , находим:
1) при
а переходя к пределу при , имеем в силу теоремы о пределе неположительной переменной (5.5) [предел существует и равен , так как по условию функция дифференцируема в точке ];
2) при
откуда, переходя к пределу при , имеем в силу теоремы о пределе неотрицательной переменной (5.6)
Сравнивая полученные для неравенства (5.5) и (5.6), заключаем, что они оба будут удовлетворены только тогда, когда . Тем самым теорема Ферма доказана. В частности, если точка есть точка строгого максимума ), то все рассуждения остаются в силе, только будут иметь место строгие неравенства
при и
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: касательная к графику функции в точке экстремума, в которой функция дифференцируема., параллельна оси.
2. Теорема Ролля. Если функция непрерывна ,на отрезке , и дифференцируема в промежутке и принимает на концах отрезка равные значения , то в промежутке найдется по крайней мере одна такая точка , в которой производная будет равна нулю:
Доказательство. Прежде всего рассмотрим возможный по условиям теоремы случай, когда функция сохраняет на отрезке постоянное значение: . В этом случае ее производная будет равна нулю во всех точках промежутка : , и, следовательно, теорема верна для этого случая [точкой является любая точка промежутка ].Если же не является постоянной на отрезке , то, будучи непрерывной на отрезке , она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений и .При соблюдении условий теоремы функция может иметь в промежутке и более чем две точки экстремума; во всех этих точках ее производная будет равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля: в условиях теоремы Ролля на графике функции найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси .