Решение.

Всего четырехзначных целых чисел существует 9000. Определим, сколько существует четырехзначных чисел с различными цифрами. Очевидно, первую цифру можно выбрать 9 способами. Вторую цифру — также 9 способами (т.к. появляется возможность выбрать 0), третью — 8 способами, четвертую — 7 способами. Если вычесть число четырехзначных чисел с разными цифрами из общего числа четырехзначных чисел, получим искомое число:

Задача 5. По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешествие длится много дней, и наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда. Сколькими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой, чем раньше?

Решение. Такие перестановки наверняка существуют (например, можно переставить верблюдов в обратном порядке). Для решения задачи перенумеруем верблюдов в первоначальном порядке от конца каравана к началу числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, последний верблюд получает номер 1, предпоследний - 2 и т д. Нам нужно найти все перестановки из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в которых не встретится ни одна из пар (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9). Для решения снова используем формулу включений и исключений. Сосчитаем сначала, во сколько перестановок входит пара (1,2). Мы можем считать эту пару за один элемент. Поэтому общее число элементов будет 8, а не 9, и число перестановок, содержащих (1,2), равно Тот же результат получаем для всех 8 пар.

Теперь рассмотрим перестановки, содержащие данные две пары. В этом случае объединяем элементы, входящие в каждую из этих парю. При этом если обе пары содержат общий элемент, то объединяем все три элемента. Иначе объединяем элементы по 2. В обоих случаях после объединения получаем 7 новых элементов, которые можно переставить способами. А две пары можно выбрать способами.

Совершенно так же доказывается, что количество перестановок, содержащих данные k пар, равно По формуле включений и исключений получаем:

Задача 6.

Сколькими способами на шахмотной доске можно расположить 2 белых и 2 чёрных ладьи так, ч.б. они не «били» друг друга ( мат олимпиада 8класс :) ) (5-10 мин)

Долго рисовать...

Решение.

64 * ( 14*С((64 - 22), 2) + (64 - 15) * С(36, 2) )

Задача 7.

Человек покупает 12 игрушек для своих четверых детей. Сколькими способами можно распределить игрушки, что-бы всем детям досталось поровну (4 шт).

Решение.

Для первого ребёнка существует С(12,3) способов выбрать игрушки. Для второго С(9,3), для третьего С(6, 3), для четвёртого С(3,3) =1. И по правилу произведения Q=С(12,3)*С(9,3)*С(6, 3)*1

Задача 8.

Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену колонной 5 львов и 4 тигра, при этом нельзя, что бы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами это можно сделать

Поставим сначала всех львов так, чтобы между ними был промежуток. Это можно сделать 5! Между львами получили 6 свободных мест. Теперь только осталось распределить эти места между 4 тиграми А(6,4) = 360. Искомое число способов по правилу произведения А(6,4)*5!