22

Дифференциальные уравнения.

Основная задача интегрального исчисления состоит в том, что по данной функции f(x) найти такую функцию y, что

Другими словами, надо найти такую функцию, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению (*). Решение этого уравнения записывается в виде

y = ∫ f(x)dx + C.

Уравнение (*) имеет бесконечное множество решений.

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи физики. Например, пусть имеем свободно падающее тело массы m. s − путь, пройденный телом от начала движения. Найдем закон движения тела .

Это дифференциальное уравнение относительно s. Проинтегрируем его.

Решение зависит от двух произвольных постоянных. Зададим начальные условия.

s = s₀, v = v₀ при t = t₀.

C₂ = s₀, C₁ = v₀.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные y′, y′′,…y⁽ⁿ⁾.

F(x, y, y′, y′′,…y⁽ⁿ⁾) = 0.

Порядком уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = φ(x), которая при подстановке обращает это уравнение в тождество.

График функции y = φ(x) называется интегральной кривой.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка записывается в виде

F(x, y, y′) = 0 или y′ = f(x, y). (1)

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения).

Если функция f(x, y) и ее производная f′_y(x, y) непрерывны в области, содержащей точку (x₀, y₀), то существует единственное решение y = φ(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

y = y₀ при x = x₀ (2)

Геометрически это означает, что через точку (x₀, y) проходит единственная интегральная кривая.

Решение, удовлетворяющее начальным условиям (2) ,

y называется частным решением.

● (x₀,y₀)

x

Общим решением уравнения (1) называется функция y = φ(x, C), зависящая от произвольной постоянной С и удовлетворяющая следующим условиям:

1. При любых фиксированных значениях с эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1);

2. Каковы бы ни были начальные условия (2), значение произвольной постоянной с можно подобрать так, чтобы эта функция удовлетворяла этим начальным условиям.

П р и м е р . y′ = 2x, dy = 2x∙dx, y = ∫2x dx + C, y = x² + C – общее решение.

y y = 2 при x = 1 – начальные условия.

2 = 1 + C, C = 1, y = x² + 1 – частное решение.

x

В ряде случаев решение дифференциального уравнения задается в виде функции, не разрешенной относительно  y .

Φ(x, y, C) = 0 – общий интеграл,

Φ(x, y) = 0 – частный интеграл.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение

Разделить переменные – это значит, путем деления и умножения привести уравнение к такому виду, чтобы в одной части был дифференциал функции, зависящей только от х, а в другой дифференциал функции, зависящей только от у.

Пусть

П р и м е р.