33

Дискретная математика.

Дискретная математика – это часть математики, занимающаяся изучением свойств структур дискретного характера. Эти структуры возникают как в самой математике, так и в ее приложениях, в том числе в экономике, кибернетике и т.д. Дискретность – антипод непрерывности. Дискретное – раздельное, состоящее из разрозненных частей.

Использование классической или дискретной математики как аппарата исследования связано с характером задач, которые рассматривает исследователь, какую модель он рассматривает дискретную или непрерывную. Например, конечное по количеству – всегда дискретно. Методы дискретной математики характеризуются необходимостью отказа от основополагающих понятий классической математики, таких как предел, производная, интеграл и т.д.

Множества.

Состав объектов исследования может быть представлен в виде дискретного множества. Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения.

Основные понятия.

Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента a множеству М обозначается a M, непринадлежность – a M. Множество A называется подмножеством множества В (обозначается А В), если всякий элемент из А является элементом В.

П римеры

В В В 1. Множество студентов ВВФ МТУСИ.

2. Множество задач в контрольной работе.

А 3. Множество натуральных чисел.

4. Множество натуральных чисел, не превосходящих 100.

Некоторые множества имеют стандартные обозначения.

N – множество всех натуральных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

C – множество всех комплексных чисел;

B = {0, 1}, это множество называется булевым отрезком.

Пусть Р – некоторое свойство, которым может обладать или не обладать элемент множества А (a A). Тогда через { a A ‍│P(a)} обозначается множество всех элементов, обладающих свойством Р.

П р и м е р . М = {n N │ⁿ/₂ N, n ≤ 100} – множество четных чисел, не превышающих 100.

Или по другому

М = { x │P(x)} − множество М, состоящее из элементов x, обладающих свойством Р.

Операции над множествами.

Объединением множеств A и B (A B) называется множество, состоящее из всех тех элементов. которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Разностью множеств A и B (A \ B) называется множество всех тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся в В.

Если при решении данной задачи рассматриваются только подмножества некоторого множества U, то множество U называется универсумом (универсальным множеством).

Дополнением множества А (обозначается называется множество U \ A .

Пересечением множеств A и B (A B) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат A и B.

A A B

А В A \ B A B

Геометрическое представление множеств называется диаграммой Венна.

П р и м е р 1. Пусть U = {1, 2, 3, 4), A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Тогда,

П р и м е р 2 . Пусть U ={a, b, c, d, e}. A ={a, b}, B = {a, c, d}, C = {b, c, d, e}. Тогда

A (B C) = {a, b} ({a, c, d} {b, c, d, e}) = {a, b} {a, b, c, d, e}= {a, b}.