- •Раздел 10. Элементы теории вероятностей
- •10.1 Событие и вероятность
- •Статистическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности.
- •Сведения из комбинаторики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы
- •10.2 Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения
- •Теорема умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы:
- •10.3 Дискретные и непрерывные случайные величины
- •Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Свойства дисперсии дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Контрольные вопросы
- •10.4 Некоторые законы распределения случайных величин (биномиальный, равномерный, нормальный)
- •Биномиальное распределение
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •График плотности распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольные вопросы
- •10.5 Введение в теорию случайных процессов
- •Математическое ожидание случайного процесса и его свойств
- •Дисперсия случайного процесса и её свойства.
- •Пример стохастической модели роста популяции
Дисперсия случайного процесса и её свойства.
Дисперсией СП X(t) называется неслучайная неотрицательная функция Dx(t), которая при любом значении t равна дисперсии соответствующего сечения СП:
Если сечение СП X(t) при заданном t является дискретной случайной величиной, то дисперсия находится по формуле:
В случае, если сечение СП X(t) при данном t – непрерывная случайная величина с плотностью f(t,x):
Свойства дисперсии СП:
Если X(t) – случайная функция, а – неслучайная функция, то:
1)
2)
3)
Вместо дисперсии часто рассматривают средне-квадратическое отклонение СП:
Пример стохастической модели роста популяции
Рассмотрим стохастический аналог упрощенного процесса роста популяции с учетом только размножения.
При детерминистском подходе предполагается, что существует определенная скорость размножения , такая, что численность популяции n за время увеличивается на . Принимая и деля обе части на , после приравнивания интегралов обеих частей равенства, , получим: .
При построении вероятностной модели, можно принять простейшее предположение о том, что вероятность появления одного потомка у данной особи в интервале времени равна . Тогда вероятность появления одной новой особи в целой популяции за время равна .
Обозначим - вероятность того, что в момент t в популяции имеется ровно n особей. Тогда то, что в момент число особей в популяции равно , означает, что либо: а) в момент t было n особей и за время это число не изменилось, либо: б) в момент было особей и за время появилась еще одна.
Получаем соотношение: Откуда после перегруппировки и деления на получим:
(1)
Это уравнение справедливо при Легко доказать, что при уравнение упрощается и имеет вид:
(2)
Так как в случае, когда процесс начинается при значении , отсутствует член, содержащий .
Уравнение (2) легко интегрируется с учетом того, что (аналогия с детерминистской моделью). Умножая обе части (2) на , деля на и приравнивая интегралы обеих частей, получим:
= .
Полученный результат подставляем в уравнение (1) для и интегрируем, используя начальное условие Решая соответствующее линейное неоднородное уравнение первого порядка, получим:
(3)
Формула (3) подставляется далее в уравнение (1) для и решается полученное уравнение с начальным условием Повторяя далее процесс, придем к решению в общем виде:
(4)
То есть пришли к частному случаю биномиального распределения.
Контрольные вопросы
Дайте определение случайной функции и случайного процесса.
Математическое ожидание случайного процесса и его свойства.
Дисперсия случайного процесса и ее свойства.
Особенности стохастической модели роста популяции и ее свойства.