При розв‘язані задачі рекомендується використовувати наступний алгоритм.
Процес охолодження тонкої пластини з оптичного скла після ЕПО описується наступним рівнянням теплопровідності:
,
при
,
з
початковою умовою:
,
і
граничними умовами:
,
,
де а02 – коефіцієнт температуропроводності матеріалу пластини, м2/с;
l – товщина пластини, м;
Т0 – початкова температура пластини, С.
Для
розв‘язання рівняння теплопровідності
використовується метод розділення
змінних:
.
В результаті перетворень знаходиться загальне рішення, що задовольняє розв‘язку рівняння теплопровідності:
Далі, методом синус-перетворення Фур‘є, знаходиться кінцевий розв‘язок задачі, що задовольняє вихідній умові рівняння:
,
де
Остаточний розв‘язок задачі теплопровідності має вигляд:
[С].
6. Розрахунок розподілу температури в обмеженому металевому стержні після алмазно–абразивної обробки його торцевих поверхонь Задача 6*
Для розрахунку розподілу температури в обмеженому металевому стержні після алмазно-абразивної обробки його торцових поверхонь було отримане наступне рівняння теплопровідності:
,
0
< x
< l
(5.1)
з
початковою
умовою
(5.2)
і
граничними умовами
, (5.3)
,
(5.4)
де а02 – коефіцієнт температуропровідності матеріалу стержня;
l – довжина стержня;
(х) – початковий розподіл температури в стержні
Для заданих а02, l і (х) одержати методом поділу змінних аналітичний вираз для Т(x, t).
Розрахувати розподіл температури по довжині стержня для різних моментів часу ti (i = 1, 2, 3).
Із-за швидкої збіжності отриманого ряду в розрахунках обмежитись n=30 членами цього ряду.
Розрахунки представити у вигляді графіків залежностей температури від довжини різця в різні моменти часу.
При розв‘язані задачі рекомендується використовувати наступний алгоритм.
Для розрахунку розподілу температури в обмеженому металевому стержні після алмазно–абразивної обробки його торцевих поверхонь задається наступне рівняння теплопровідності:
при ,
з
початковою умовою:
;
і
граничними умовами:
,
,
де а02 – коефіцієнт температуропроводності матеріалу стержня, м2/с;
l – довжина стержня, м;
Т0 – початкова температура стержня, С.
Для
розв‘язання рівняння теплопровідності
використовується метод розділення
змінних:
.
В результаті перетворень знаходиться загальне рішення, що задовольняє рівнянню теплопровідності:
Далі, методом косинус-перетворення Фур‘є, знаходиться кінцевий розв‘язок задачі, що задовольняє вихідній умові рівняння:
,
де
Остаточний розв‘язок задачі теплопровідності має вигляд:
[С].
Варіанти задачі 6
№ варіанту |
t1, c |
t2, c |
t3, c |
а02, м2/с |
(x) |
l, м |
1 |
0,2 |
0,9 |
1,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 + 200 |
8 . 10-2 |
2 |
0,6 |
1,2 |
2,0 |
4 . 10-5 |
104.х2 + 400 |
5 . 10-2 |
3 |
0,8 |
1,4 |
2,2 |
7 . 10-5 |
4.103.х |
9 . 10-2 |
4 |
1,1 |
1,8 |
2,6 |
12 . 10-5 |
2.103.х |
11 . 10-2 |
5 |
0,6 |
1,4 |
2,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 |
6 . 10-2 |
6 |
0,9 |
1,9 |
3,1 |
9 . 10-5 |
2.103.х |
8 . 10-2 |
7 |
0,6 |
1,8 |
3,1 |
5 . 10-5 |
2.103.х |
12 . 10-2 |
8 |
0,5 |
0,9 |
1,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 + 200 |
8 . 10-2 |
9 |
0,4 |
1,2 |
2,0 |
4 . 10-5 |
104.х2 + 400 |
5 . 10-2 |
10 |
0,3 |
1,4 |
2,2 |
7 . 10-5 |
4.103.х |
9 . 10-2 |
11 |
0,5 |
1,8 |
2,6 |
12 . 10-5 |
2.103.х |
11 . 10-2 |
12 |
0,2 |
1,0 |
2,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 |
6 . 10-2 |
13 |
0,6 |
0,8 |
3,1 |
9 . 10-5 |
2.103.х |
8 . 10-2 |
14 |
0,8 |
0,9 |
3,1 |
5 . 10-5 |
2.103.х |
12 . 10-2 |
15 |
1,1 |
1,2 |
3,2 |
8 . 10-5 |
104.х2 + 200 |
8 . 10-2 |
16 |
0,6 |
1,4 |
3,0 |
4 . 10-5 |
104.х2 + 400 |
5 . 10-2 |
17 |
0,9 |
1,8 |
2,8 |
7 . 10-5 |
4.103.х |
9 . 10-2 |
18 |
0,6 |
1,6 |
1,8 |
12 . 10-5 |
2.103.х |
11 . 10-2 |
19 |
0,2 |
1,7 |
2,6 |
8 . 10-5 |
104.х2 |
6 . 10-2 |
20 |
0,6 |
1,5 |
2,5 |
9 . 10-5 |
2.103.х |
8 . 10-2 |
21 |
0,8 |
1,4 |
2,4 |
5 . 10-5 |
2.103.х |
12 . 10-2 |
22 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 + 200 |
8 . 10-2 |
23 |
0,6 |
0,9 |
2,0 |
4 . 10-5 |
104.х2 + 400 |
5 . 10-2 |
24 |
0,9 |
1,2 |
2,2 |
7 . 10-5 |
4.103.х |
9 . 10-2 |
25 |
0,6 |
1,4 |
2,6 |
12 . 10-5 |
2.103.х |
11 . 10-2 |
26 |
0,2 |
1,8 |
2,8 |
8 . 10-5 |
104.х2 |
6 . 10-2 |
27 |
0,6 |
1,2 |
3,1 |
9 . 10-5 |
2.103.х |
8 . 10-2 |
28 |
0,8 |
1,1 |
3,1 |
5 . 10-5 |
2.103.х |
12 . 10-2 |
29 |
1,1 |
0,8 |
3,0 |
7 . 10-5 |
2.103.х |
11 . 10-2 |
30 |
0,6 |
0,9 |
3,2 |
12 . 10-5 |
104.х2 |
6 . 10-2 |