Решение, полученное после увеличения имеющегося объема ресурса 2 на 30 единиц

Хотя теневые цены показывают, как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении объемов имеющихся ресурсов, они не дают Вам информации о том, как при этом изменятся значения оптимизируемых переменных. Чтобы определить новые значения оптимизируемых переменных, следует внести изменения в правые части ограничений и повторно решить модель.

Рассмотрим еще пример. Допустим, что мы решили выпустить на рынок новый вид продукции. Производство единицы такой продукции требует затрат 1 единицы ресурса 1, 8 единиц ресурса 2, 13 единиц ресурса 3 и приносит 127 единиц прибыли. Будет ли эта продукция прибыльной ?

Ответ на этот вопрос можно дать на основе использования теневых цен. Прежде всего заметим, что производство новой продукции будет базироваться на тех же объемах ресурсов, что существовали до его начала. Таким образом, производство каждой единицы новой продукции отвлекает от прежнего производства 1 единицу ресурса 1, 8 единиц ресурса 2 и 13 единиц ресурса 3. Поскольку ресурсы 1 и 3 являются несвязанными, т. е. оптимальное решение использует их не полностью, отвлечение части этих ресурсов не вызовет изменения прибыли. Однако, отвлечение 8 единиц связанного (дефицитного) ресурса для производства единицы новой продукции вызовет снижение общей прибыли на величину 8*12=96 единиц. Это снижение, однако, будет компенсироваться повышением общей прибыли от производства единицы новой продукции, равным 127. Таким образом чистый эффект от производства единицы новой продукции составит 127-96=31, что говорит об эффективности выпуска новой продукции.

Другой возможностью определить, эффективна ли новая продукция, является решение построенной нами модели. До решения модели следует внести в неё коррективы, связанные с вводом дополнительной оптимизируемой переменной. Решение новой модели и отчет по устойчивости приведены в Табл. 7.15 и на Рис. 7.7.

Таблице 7.15

Решение модели после ввода в неё нового вида продукции

Заметим, что оптимизируемые переменные всегда имеют равный нулю показатель редуцированных затрат, если их оптимальные значения находятся внутри интервала, образованного верхней и нижней границами. (В нашей модели верхняя граница для всех переменных кроме П1 и П4 равна плюс бесконечности).

Оптимальные значения объемов производства, полученные для продукции П3 и П5, удовлетворяют этому положению. Переменные, оптимальные значения которых совпадают с нижней границей, имеют отрицательный или равный нулю показатель редуцированной стоимости при решении задач максимизации и положительный или равный нулю показатель - при решении задач минимизации. Переменные, оптимальные значения которых совпадают с верхней границей, имеют положительный или равный нулю показатель редуцированной стоимости при решении задач максимизации и отрицательный или равный нулю - при решении задач минимизации.

Microsoft Excel 5.0 Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Рис. 7. 7. Отчет по устойчивости после ввода в модель нового вида продукции

Итак, анализ отчета по устойчивости решения высветил следующие взаимосвязи между теневыми ценами и редуцированной стоимостью:

• теневые цены ресурсов определяют прирост (сокращение) общей прибыли при увеличении (уменьшении) на единицу имеющегося объема дефицитных ресурсов;

• недефицитные ресурсы имеют нулевую теневую цену;

• редуцированная стоимость данной продукции равна разности между её единичной прибылью и суммой произведений ресурсных коэффициентов на теневые цены;

• виды продукции, имеющие отрицательную редуцированную стоимость, являются неэффективными для производства.

Рассмотрим теперь, как влияет изменение ресурсных коэффициентов на оптимальное решение модели. Полученное решение и отчет по устойчивости, которые мы видим в Табл. 7.15 и на Рис. 7.7, показывают, что введенный в производство новый вид продукции эффективен, поскольку его редуцированная стоимость не отрицательна (она равна нулю). Определим условие по потреблению ресурса 2, при котором новая продукция будет неэффективной (т. е. будет иметь отрицательную редуцированную стоимость).

127- (0*1+ 10,7*r₂ +3,2*13) < 0.

Решив неравенство относительно ресурсного коэффициента r₂, получим:

r₂> (127-3,2*13) /10,7 =8,0.

Таким образом, если при производстве единицы новой продукции потребление ресурса 2 превысит 8,0 единиц, производить новую продукцию будет неэффективно.

Ранее при рассмотрении столбцов "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" отчета по устойчивости мы определяли допустимые изменения коэффициентов целевой функции, которые возможны без изменения найденного оптимального решения при условии, что все остальные параметры модели останутся неизменными. Однако иногда может потребоваться определить возможности одновременного изменения коэффициентов целевой функции в рамках найденного решения. Выделяются следующие две ситуации.

1. Все переменные, по которым предполагается вносить изменения в показатели единичной прибыли, имеют ненулевые значения редуцированной стоимости.

2. По меньшей мере одна переменная, в коэффициенты целевой функции которых предполагается вносить изменения, имеет нулевую редуцированную стоимость.

Для первого случая существует следующее правило. Найденное решение сохранится, если изменения коэффициентов целевой функции будут произведены в пределах, заданных в столбцах "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" отчета по устойчивости.

Для второго случая следует вычислить показатель r_j по следующим формулам.

где c_j - первоначальное значение коэффициента целевой функции для переменной П_j;

c_j- планируемое изменение c_j;

I_j - допустимое увеличение c_j в соответствии с отчетом по устойчивости;

D_j - допустимое уменьшение c_j в соответствии с отчетом по устойчивости.

Заметим, что r_j измеряет отношение планируемых изменений величины c_j к максимально возможному изменению, при котором сохраняется данное оптимальное решение. Если изменяется только один из коэффициентов целевой функции, найденное оптимальное решение сохранится, при условии выполнения соотношения r_j < =1. Аналогично, если более чем один коэффициент целевой функции изменяется, найденное оптимальное решение сохранится при условии выполнения соотношения <=1. (Заметим, что даже в случае невыполнения указанного соотношения оптимальное решение может сохраниться, хотя это не может гарантироваться).