- •1. Понятие модели.
- •1.1. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.2. Классификация моделей
- •1.3. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Математические модели.
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •2.3. Этапы построения математических моделей
- •Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •2.4 Математические оптимизационные модели.
- •2.4. Необходимые сведения из матричной алгебры
- •2.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •3. Простейшие оптимизационные задачи.
- •3.1. Экстремумы функции одной переменной.
- •Экстремумы функции нескольких переменных.
- •4. Математические модели экономических задач.
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2 Задача об использовании ресурсов.
- •4.3. Задача о диете.
- •4.4. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Стандартная задача линейного программирования.
- •Каноническая задача линейного программирования.
- •Общая задача линейного программирования.
- •5. Графический метод решения задач линейного программирования.
- •5.1. Выпуклые множества
- •5.2 Геометрический смысл решений систем неравенств.
- •5.3. Графический метод решения задач линейного программирования. Пример.
- •5.4. Геометрический метод решения задачи. Общий случай.
- •6.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- •6.1. Выпуклые многогранники.
- •6.2.Симплекс-метод. Пример.
- •6.3.Симплекс метод. Общий случай.
- •Симплекс-таблицы. Пример.
- •7.Двойственность в линейном программировании.
- •7.1. Двойственные задачи линейного программирования.
- •7.2. Теоремы двойственности..
- •7.3. Анализ чувствительности задачи линейного программирования..
- •Решение транспортной задачи.
- •7.1 Особенности транспортной задачи.
- •7.2. Опорный план транспортной задачи
- •7.3. Метод потенциалов.
- •8.Задачи нелинейного программирования.
- •8.1. Общая постановка задачи нелинейного программирования.
- •8.2. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями.
- •8.3. Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями.
- •8.4. Метод множителей Лагранжа.
- •Элементы теории игр.
- •9.1.Основные понятия теории игр
- •8.3. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
5.3. Графический метод решения задач линейного программирования. Пример.
Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
Найти наибольшее значение функции
f=х+2у (1)
при ограничениях
х (3)
Найдем, прежде всего, множество М точек, удовлетворяющих условиям (2). Каждое из неравенств определяет полуплоскость, а пересечением всех этих полуплоскостей и будет множество М.
5х-у+1=0
у-х+1=0
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f=х+2у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х+у-1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
-2х-у+8=0
Решением нашей задачи будет точка (х0, у0), удовлетворяющая условиям
(х0, у0)
f(х0, у0)= х0 +2у0=C, где С наибольшее возможное число.
Поэтому для нахождения (х0, у0) нужно найти линию уровня с наибольшим С, пересекающую М.
f=C2
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f=C0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f=C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
Такой точкой (х0, у0) будет точка В, так как для линий уровня, лежащих ниже прямой х+2у=C0 , C1<C0, а линии уровня, лежащие выше х+2у=C0 не имеют с М общих точек. Поэтому решение задачи
х=1, у=6, f(х,у)=х+2у=13.