- •1. Понятие модели.
- •1.1. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.2. Классификация моделей
- •1.3. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Математические модели.
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •2.3. Этапы построения математических моделей
- •Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •2.4 Математические оптимизационные модели.
- •2.4. Необходимые сведения из матричной алгебры
- •2.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •3. Простейшие оптимизационные задачи.
- •3.1. Экстремумы функции одной переменной.
- •Экстремумы функции нескольких переменных.
- •4. Математические модели экономических задач.
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2 Задача об использовании ресурсов.
- •4.3. Задача о диете.
- •4.4. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Стандартная задача линейного программирования.
- •Каноническая задача линейного программирования.
- •Общая задача линейного программирования.
- •5. Графический метод решения задач линейного программирования.
- •5.1. Выпуклые множества
- •5.2 Геометрический смысл решений систем неравенств.
- •5.3. Графический метод решения задач линейного программирования. Пример.
- •5.4. Геометрический метод решения задачи. Общий случай.
- •6.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- •6.1. Выпуклые многогранники.
- •6.2.Симплекс-метод. Пример.
- •6.3.Симплекс метод. Общий случай.
- •Симплекс-таблицы. Пример.
- •7.Двойственность в линейном программировании.
- •7.1. Двойственные задачи линейного программирования.
- •7.2. Теоремы двойственности..
- •7.3. Анализ чувствительности задачи линейного программирования..
- •Решение транспортной задачи.
- •7.1 Особенности транспортной задачи.
- •7.2. Опорный план транспортной задачи
- •7.3. Метод потенциалов.
- •8.Задачи нелинейного программирования.
- •8.1. Общая постановка задачи нелинейного программирования.
- •8.2. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями.
- •8.3. Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями.
- •8.4. Метод множителей Лагранжа.
- •Элементы теории игр.
- •9.1.Основные понятия теории игр
- •8.3. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
4. Математические модели экономических задач.
4.1. Транспортная задача
Руда добывается в нескольких месторождениях Мi (i=1,…,n) и отправляется ряду потребителей Рj (j=1,…,m). Известно количество руды, добываемое каждым месторождением, и количество руды, требуемое каждому из потребителей. Известны затраты сij на перевозки одной тонны руды от месторождения Мi к потребителю Рj. Требуется так спланировать перевозки угля, чтобы затраты на них были минимальными.
Рассмотрим случай трех месторождений М1, М2, М3,, добыча которых составляет соответственно a1, а2, а3 тонн руды. Эту руду надо доставить в пункты потребления Р1, Р2, Р3, Р4 , потребности которых в руде соответственно равны b1, b2, b3, b4, . Будем предполагать, что общее производство руды равно суммарной потребности в нем (такой план называют сбалансированным): a1 +а2 +а3 = b1 +b2 +b3 +b4. Обозначим через x11 количество руды (в тоннах), предназначенное к перевозке из M1 в Р1. Для наглядности составим схему перевозок.
|
в Р1 |
в Р2 |
в Р3 |
в Р4 |
Всего |
|
|
|
|
отправлено |
|
из М1 |
х11 |
х12 |
х13 |
х14 |
a1 |
из М2 |
х21 |
х22 |
х23 |
х24 |
а2 |
из М3 |
х31 |
х32 |
х33 |
х34 |
а3 |
Всего привезено |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
Тогда должны выполняться следующие условия
(1)
(2)
Кроме того, очевидно,
хij≥0, i=1,2,3, j=1,2,3,4. (3)
Стоимость перевозки из Мi в Pj. будет равна с i jх i j, а поэтому общая стоимость всех перевозок будет равна:
F=c11х11+c12х12+c13х13+c14х14+... +c31х31+c32х32+c33х33+c34х34, (4)
Задача состоит в нахождении чисел хij, удовлетворяющих ограничениям (1), (2), (3) (т.е. в определении плана перевозок), таких что общая стоимость перевозок (4) была бы наименьшей. Такие задачи называют транспортными задачами.
4.2 Задача об использовании ресурсов.
Пусть предприятие выпускает n товаров Т1, …,Тn. Для их выпуска требуются m видов ресурсов R1,…,Rm (такими ресурсами могут быть, например, сырье для производства продукции, оборудование, энергия и т.д.). Предположим предприятие имеет ресурс Ri в количестве bi условных единиц. Пусть для производства единицы товара Тj требуется аij единиц ресурса Ri. Пусть также доход предприятия от производства единицы продукции Тj равен сj.
Требуется при данных ресурсах определить такую комбинацию товаров(то есть сколько каких товаров нужно производить), чтобы доход предприятия, который мы обозначим f , оказался максимальным.
Обозначим через х1,…,хn соответственно количество товара Т1,…,Тn.
Для выпуска товара Т1 в количестве х1 потребуется количество ресурса R1 в количестве а11х1, для выпуска товара Т2 в количестве х2 потребуется количество ресурса R1 в количестве а12х2,…, для выпуска товара Тn в количестве хn потребуется количество ресурса Rn в количестве а1nхn. Так как ресурс R1 ограничен числом b1, то должно выполняться условие
а11х1+а12х2+…+а1nxn≤b1.
Аналогичные условия должны выполняться и для других ресурсов R2,…,Rm.
Очевидно, х1≥0,…, хn≥0.
Общий доход от производства всех товаров
f=c1x1+…cnxn.
Тогда задачу об использовании ресурсов можно сформулировать следующим образом. Найти х1,…,хn, удовлетворяющие условиям
(5)
х1≥0,…, хn≥0
и доставляющие линейной функции
f=c1x1+…cnxn (6)
наибольшее значение.