- •Математика Интегральное исчисление
- •I курса очной формыобучения
- •Предисловие
- •Оглавление
- •Глава 1 Неопределенный интеграл………………………………..5
- •Глава 2. Определенный интеграл………………………………….17
- •Глава 3. Кратные интегралы………………………………………23
- •Глава 4. Криволинейные интегралы………………………………29
- •Глава 1. Неопределенный интеграл
- •1.5. Метод интегрирования по частям
- •1.6. Интегрирование рациональных функций
- •1.7. Интегрирование тригонометрических функций
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •Глава 2. Определенный интеграл
- •2.1. Определение и вычисление определенного интеграла
- •2.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.3. Применение определенного интеграла
- •2.3.1. Полярная система координат
- •2.3.2. Вычисление площадей фигур
- •2.3.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •2.3.4. Вычисление объема тел вращения
- •2.4. Несобственные интегралы
- •Глава 3. Кратные интегралы
- •3.1. Двойной интеграл
- •3.2. Применение двойного интеграла
- •3.3. Двойной интеграл в полярных координатах
- •Глава 4. Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)
- •Приложение криволинейного интеграла 1-го рода
- •4.2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
- •Вычисление криволинейных интегралов II рода
- •Приложения криволинейного интеграла II рода
- •Список рекомендуемой литературы
1.8. Интегрирование иррациональных функций
Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от функции рациональной. Можно выделить следующие типы интегралов от иррациональных функций:
1. . Для таких интегралов рационализация достигается подстановкой , гдеm – общий знаменатель рациональных чисел Р1, Р2,…, Pn.
2. Интегралы типа
сводятся к табличным после выделения под радикалами полного квадрата и последующей подстановкой .
3. Интегралы типа
приводятся к рационально зависящим от тригонометрических функций выражениям с помощью следующих тригонометрических подстановок соответственно: х=asint или x=acost, x=atgt, .
________________________
Найти интегралы:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. .
Ответы:
1. ;
2. ;
3. ; 4. ;
5. ;
6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ; 11. ;
12. .
Глава 2. Определенный интеграл
2.1. Определение и вычисление определенного интеграла
Пусть на отрезке [a,b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a=x0<x1<…<xn=b и на каждом интервале (xi-1,xi) выберем произвольную точку i. Составим сумму , где xi=xi -xi-1, которая называется интегральной суммой.
Предел называется определен-ным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b. Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, т.е. значения первообразной функции для f(x) в точках верхнего и нижнего пределов.
2.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функция x=(t) и ее производная x'='(t)непрерывны при t[,], и множеством значений функции x=(t) при t[,] является отрезок [a,b], и пусть()=а, ()=b, тогда
или
.
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле осуществляется по следующей формуле:
.
___________________
Вычислить определенные интегралы:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. .
Ответы:
1. 0; 2. ; 3. /6; 4. /12; 5. ; 6. 7+2ln2; 7. ;
8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. .
2.3. Применение определенного интеграла
2.3.1. Полярная система координат
Как известно, положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется парой чисел (х,у) – координатами точки.
В полярной системе координат та же точка может быть определена так называемым полярным углом и длиной радиуса – вектора (рис.1). Луч ОР называется полярной осью, т.О – полюсом. Связь между декартовым и полярными координатами состоит в следующем: ; .
Построить кривые, заданные уравнением в полярной системе координат:
1. r=a; 2. r=3(1-cos); 3. r=asin3; 4. r=acos2; 5. r2=a2cos2.