Министерство образования и науки РФ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Кафедра Автоматики и Процессов Управления
Отчет по лабораторной работе № 3
«Анализ дефектов дискретного преобразования Фурье»
Выполнил: Антонов В.В.
Группа: 3322
Факультет: КТИ
Кафедра: АПУ
Проверил: Канатов И.И.
Санкт – Петербург
2005
Цель работы
В рамках данной лабораторной работы необходимо на конкретных примерах показать, какие нежелательные последствия влечет за собой дискретное преобразование Фурье, а также продемонстрировать способ уменьшения влияния этих нежелательных последствий.
Теоретические сведения
Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми. Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу. Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами сигнала. Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времениТ, называемыепериодом дискретизации. Величина, обратная периоду дискретизации называется частотой дискретизации.
Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования —дискретным сигналом.
Отсчеты при этом могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню, а возникающие при этом ошибки округления — ошибками (или шумами) квантования.
Сигнал, дискретный во времени, но не квантованный по уровню, называется дискретным сигналом. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называютцифровым сигналом.Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчетами, если его частота не превышает половины частоты дискретизации (эта частота называется частотой Найквиста).
Преобразование Фурье позволяет вычислить спектральную плотность сигнала, представляющего собой функцию (как правило, времени либо пространственных координат). Дискретный же сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его спектра обычными (аналоговыми) средствами необходимо сопоставить этой последовательности некоторую функцию.
Традиционным способом такого сопоставления
является представление отсчетов в виде
дельта-функций с соответствующими
множителями и задержками. Для
последовательности отсчетов
получится следующий сигнал:
.
Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту. Все это позволяет записать спектр дискретного сигнала:
.
Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: спектр является периодическим, и его период в данном случае равен 2π.
Периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который описывается конечным набором из Nчисел. Дискретное преобразование Фурье определяется следующим выражением
.
Обратное дискретное преобразование Фурье:
.