Ход выполнения работы

Примечание: для выполнения данной лабораторной работы (для формирования сигналов, проведения над ними математических операций, а также построения их графиков) будет использоваться математический пакетMathSoft ® MATLAB 7.0.1.

Наши ожидания

Наши ожидания перед началом какого-либо исследования – это почти всегда идеализация, ибо мы, естественно, предполагаем наиболее благоприятный для нас исход проводимых экспериментов. Этап построения подобных «идеализированных моделей» очень важен, ибо позволяет четко уяснить суть решаемой проблемы, а также установить желаемый наилучший результат ее решение (или же наилучший способ ее решения) для последующего сравнения с ним данных реальных экспериментов и оценки пригодности полученных практических результатов в сравнении с определенным нами эталоном.

Итак, что же мы хотели бы получить?

Было бы очень здорово, чтобы дискретное преобразование Фурье (далее - ДПФ) работало «максимально хорошо», т.е. не давало бы в процессе преобразования сигнала различных, скажем так, нежелательных явлений, ухудшающих конечный результат, а значит, усложняющих дальнейший анализ.

Если говорить более конкретно, в идеальном случае мы представляем ДПФ как параллельную систему фильтров следующего характера:

• У каждого из этих фильтров ширина амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) равна 1 Гц.

• Каждый фильтр пропускает через себя только свой, персонально ему назначенный, диапазон частот и ни при каких обстоятельствах не пропускает через себя частоты из других диапазонов.

Дпф – практические исследования

Итак, после того, как мы определили желаемый для нас результат, настало время провести ряд практических исследований. Для примера возьмем функцию косинуса.

Сначала зададим его с целой частотой () и выполним для этого сигнала ДПФ (Рис. 1):

Рис. 1.ДПФ для косинуса с целым значением частоты, равным 5.

Как видно из представленного выше рисунка, никаких посторонних элементов на графике спектра не наблюдается. Наша «идеализированная модель» в данном случае хорошо работает.

Продолжим экспериментировать. Построим теперь спектр той же функции, но на этот раз зададим для нее не целое значение частоты (Рис. 2):

Рис. 2.ДПФ для косинуса с дробным значением частоты, равным 5,5.

Вот тут-то и начинаются для нас «неприятности». Хотя по прежнему значение частоты 5 на спектре выделяется лучше всех остальных, на значение частоты 5,5 (судя по полученному спектру) отреагировали сразу несколько фильтров нашей «идеализированной модели». Идеального результата, увы, не получилось – ДПФ проявило свои нежелательные для нас дефекты.

Создадим теперь семейство гармонических сигналов (пусть это будут все те же функции косинуса). Для каждого сигнала из семейства выполним ДПФ. Наша цель здесь – построить зависимость амплитуды некоторого столбца в спектре от частоты подаваемого сигнала из созданного семейства гармонических сигналов. Для определенности будем подавать сигналы диапазона 10-20 Гц с шагом 0,1 Гц. А для дальнейшего исследования выберем 15-й и 16-й столбцы спектра. Графики указанных зависимостей приведены на Рис. 3(для 15-го столбца – график выделен сплошной линией, для 16-го столбца – пунктирной линией).

Рис. 3.Зависимость амплитуды 15-го и 16-го столбцов спектра

от частоты подаваемого сигнала.

Итак, что же можно сказать?

На представленном выше рисунке очень четко видны малые «лепестки» - это реакция 15-го фильтра из «идеализированной модели» на частоты из тех диапазонов, за которые он не отвечает и которые он (в идеальном случае) пропускать не должен.

Также наблюдается перекрытие АЧХ для 15-го и 16-го столбцов (соответственно, для 15-го и 16-го фильтров из «идеализированной модели»). Т.е. при подаче частоты 14,5 Гц на нее весьма «активно» реагирует не только 15-й фильтр, но и 16-й тоже (при этом в область действия последнего указанная частота не входит).

Описанные явления и есть дефекты ДПФ.