- •1. Первообразная.
- •2. Неопределенный интеграл
- •3.Свойства неопределенного интеграла
- •4.Табличные интегралы.
- •5. Метод замены переменной или метод подстановки
- •6. Метод интегрирования по частям
- •41. Теорема о равенстве смешанных производных
- •42. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
- •44. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •46. Условный экстремум.
- •47. Метод Лагранжа.
- •48. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •49. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
- •50. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
- •51. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
- •52. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
- •53. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •56. Свойства сходящихся рядов.
- •57. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •58. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •59. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •60. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •61. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •66. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.
- •67. Ряды Тейлора (Маклорена)
- •68. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена
- •70. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.
41. Теорема о равенстве смешанных производных
Если производные и существуют в некоторой окрестности точки М(х0, у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство
(М)=(М)
42. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть функция f(х) имеет (п +1) производных в E-окрестности точки х0 . Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
f(х) = T(х) +
где T(x)- п-й многочлен Тейлора функции f(х) в точке х0. - остаточный член в форме Лагранжа
43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
Точка М называется точкой локального минимума функции у=f(x), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) <= f(X).
Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f (X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(М) >= f(X).
Точки локальных минимумов и максимумов функции у=f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции
44. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Теорема. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю:
45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x1, ..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2 f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2 f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2 f(M0) положительно определена), если же d2 f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.
46. Условный экстремум.
Пусть у= f(X) функция с областью определения D(f) и пусть S - подмножество в D(f) (т.е. S является частью в D(f). Точка Aпринадлежит S называется точкой условного минимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей одновременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно неравенство f(A)<= f(B).
Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A)>=f(B).
Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.
47. Метод Лагранжа.
Пусть функции f и g1 …gs определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки х* причем, векторы
линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях
то найдутся числа ʎ1 …ʎs для которых x* - стационарная точка функции
Функция L называется функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.