1) Умнож-е круглых десятков на однознач. Число:

20•3=2дес.•3=6дес.=60 => 20•3=60.

2) Умнож-е двузнач. Числа на однознач.:

23•7= [представл-е числа в виде суммы] =(20+3)•7= [раскрытие скобок] =20•7+3•7= [замена рез-та действия его знач-ем] =140+21= [замена рез-та действия его знач-ем] =161

8. Ур-ние 1ой степени с одной переем-й. Равносил-е ур-ния. Теоремы о равносил-ти ур-ний. Примеры ур-ний из учеб-в матем-ки для нач. шк. и способы их реш-я.

Пусть f(x) и g(x) есть выраж-я с переменной, определенные на некот-м мн-ве Х, тогда высказыват-ая форма вида f(x)=g(x) назыв-ся ур-нием с одной переменной, определенном на мн-ве Х.

Х – область опред-я ур-ния.

Решить ур-ние – значит найти все те знач-я переменного из области опред-я ур-ния, при кот. ур-ние превращ-ся в истинное числ-е рав-во.

Решить уравнение – значит найти мн-во ист-ти высказыват-ой формы f(x)=g(x).

Два ур-ния равносильны на мн-ве Х, если мн-ва их решений совпадают.

Напр.: ((х-3)∙(х-5)=0) ↔ (х²-8х+15=0)

(2∙(х-1)=2х-2) ↔ (3∙(х-1)=3х-3)

При реш. ур-ния оно переходит от одного ур-ния к др-му ур-нию, кот-е равносильно первому. Если эта равносильность не соблюд-ся, возможны потери корня или появл-е постороннего корня.

Замена ур-ния равносильным ему ур-нием назыв-ся равносильным преобраз-ем.

Напр.: 3(х-2)=0 и 3х-6=0.

Теоремы о равносильных ур-ниях.

Теорема 1.

Пусть ур-ние f(x)=g(x) определено на некот-ом мн-ве Х и на этом же мн-ве определено выраж-е h(x) – выраж-е, кот. не теряет смысла ни при каком х из мн-ва Х. Тогда ур-ния f(x)=g(x) и f(x)+h(x)=g(x)+h(x) равносильны.

Если к обеим частям ур-ния с областью опред-ия Х прибавить одно и то же выраж-е с переменной, определенное на том же мн-ве, то получим нов. ур-ние, равносильное данному.

Следствия из теоремы 1.

1. Если к обеим частям ур-ния прибавить одно и то же число, то получим ур-ние, равносильное данному.

2. Если какое-либо слаг-ое (числ-е выраж-е или выраж-е с переменной) перенести из одной части ур-ния в др., поменяв знак слаг-го на противопол-й, то получим ур-ние, равносильное данному.

Теорема 2.

Пусть ур-ние f(x)=g(x) определено на некот-м мн-ве Х и на этом же мн-ве определено выраж-е h(x), кот. не обращается в нуль ни при каких знач-ях х из мн-ва Х. Тогда ур-ния f(x)=g(x) и f(x)*h(x)=g(x)*h(x) равносильны.

Следствие из теоремы 2.

Если обе части ур-ния с областью опред-я Х умножить на одно и то же выраж-е, кот. определено на том же мн-ве и не обращается на нем в нуль, то получим нов. ур-ние, равносильное данному.

Примеры ур-ний из учеб-в матем-ки для нач. шк. и способы их решения.

- Подбор корней.

- Тождеств-е преобраз-я.

(х-2)/3 + х/2 = 1

1) (6∙(х-2))/3 + (6∙х)/2 = 6 Получили ур-е, равнос. данному, т.к. выполнили преобраз., в основе кот. лежит следствие из Т1 о равносильных ур-ниях, а также тождеств. преобразование, в основе кот. лежит распределит. закон умножения.

2) 2∙(х-2)+3∙х = 6 Поучили ур-ние, равнос. данному, т.к. выполнили тождеств. преобраз., в основе кот. лежит правило сокращения дробей.

3) 2∙х–4+3∙х = 6 Получили ур-е, равнос. данному, т.к. выполнили преобраз., в основе кот. лежит распределит. закон умнож. относит-но алгебраич. сложения и правила выполнения действий над числами.

4) 5∙х–4 = 6 Получили ур-е, равнос. данному, т.к. выполнили преобраз., в основе кот. лежит сочетат. закон алгебраич. сложения, переместит. и распределит. законы умножения относит-но алгебраич. сложения.

5) 5∙х = 6+4 Получили ур-е, равнос. данному, т.к. воспользовались следствием 2 из Т1 (выполнен. тождеств. преобраз., в основе кот. лежит связь между компонентами действия вычит. и его рез-та).

6) 5∙х = 10 Получили ур-е, равнос. данному, т.к. выполнили преобраз. по замене суммы её значением.

7) х=2 Получили ур-ние, равнос. данному, т.к. воспользовались следствием 2 из Т1.

9. Отрезок натур-го ряда чисел и счет эл-тов конечного мн-ва. Теоретико-множественный смысл натур-го числа. Опред-е отнош-я «меньше» для натур-х чисел, его теоретико-множественный смысл. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрывающих теоретико-множественный смысл натур-го числа и отнош-е «меньше».

Отрезком натур-го ряда N_a назыв-ся мн-во, кот. состоит из всех натур-х чисел, не превосходящих а (N_a={1, 2, 3, …, а}).

Натур-е число – число, использ-е при счете.

Напр.: отрезок N₇ – мн-во натур-х чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N₇= 1,2,3,4,5,6,7.

Свойства отрезков натур-го ряда:

1) Любой отрезок натур-го ряда д. содержать единицу.

2) Если число х принадлежит отрезку N_a и х не равно а, то и число, кот. непосредств-но следует за х (х+1) будет принадлежать N_a.

(x€N_a и х≠а) => (х+1 € N_a)

Счетом эл-тов мн-ва А назыв-ся установл-е взаимно-однозначного соотв-вия м-у эл-тами данного мн-ва и отрезком натур-го ряда N_a.

Взаимно-однознач. соотв-ем м-у эл-тами мн-ва X и эл-тами мн-ва Y назыв-ся такое соответствие, когда каждому эл-ту из мн-ва Х соответствует единств-й эл-т из мн-ва Y и наоборот. Если есть это соответствие – мн-ва равномощные.

Мн-во явл-ся конечным, если оно равномощно некоторому отрезку натур-го ряда чисел N_a.

В рез-те пересчета эл-тов входящих в данное мн-во мы получаем число, кот. м. считать характер-ой численного мн-ва.

Правила счета:

1) Любой эл-т из мн-ва м. б. назван первым при счете.

2) Никакой эл-т не д. б. пропущен при счете.

3) Кажд. эл-т при счете д. б. просчитан только 1 раз.

Любое натур-е число при счёте играет колич-ый (кол-во просчитанных эл-тов) и порядковый (показано, какой эл-т был просчитан под этим номером) смысл.

Если непустое конечное мн-во А равномощно отрезку, то натур-е число а назыв-т числом эл-тов мн-ва А и пишут n(А)=а.

Напр.: если А – мн-во вершин тр-ка, то n(А)=3.

Теоретико-множественный смысл натур-го числа.

Колич-ое натур-е число а получается в рез-те счета эл-тов конечного мн-ва А. Это же число а м. б. получено и при пересчете эл-тов др-го мн-ва, напр., В. Мн-ва А и В равномощны, т.к. содержат одинак-е кол-во эл-тов.

Т. о., с теоретико-множественной точки зрения:

- натур-е число – есть общее св-во класса конечных равномощных мн-в.

- нуль – общее св-во пустого мн-ва, кол-во эл-тов в пустом мн-ве (0=n(Ø))

Разбить мн-во на классы – значит разбить его на такие подмн-ва, кот. попарно не пересек-ся и в объед-ие дают исходное мн-во.

Определение отнош-я «<» для натур-х чисел:

Число а меньше b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b.

Определение понятия «=»:

Пусть а – натур-ое число, причем а соответствует кол-ву эл-тов в мн-ве А (а=n(A)); пусть b – натур-е число, причем b соответствует кол-ву эл-тов в мн-ве B (b=n(B)). Числа a=b тогда и только тогда, когда A и B равномощны (A~B).

Теоретико-множ. смысл понятия «<».

Если a<b, то это означ., что отрезок натур-го ряда N_a явл-ся собств-м подмн-вом отрезка N_b, т.е. N_aCN_b и N_a≠N_b. Справедливо и обратное утверждение: если N_a – собств-е подмн-во N_b, то a<b. Тем самым отнош-е «меньше» получ. теоретико-множ. истолкование: a<b в том и только в том случае, когда отрезок натур-го ряда N_a явл-ся собств-м подмн-вом отрезка N_b.

Теоретико-множеств. трактовка отнош-я «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на З. их места в натур-ом ряду. Однако сравн-е чисел часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными мн-вами.

Пусть a=n(A), b=n(B); a<b, если во мн-ве В сущ-ет такое собств-е подмн-во B₁, что мн-во А равносильно мн-ву B₁.

Собственными подмн-вами данного мн-ва явл-ся все подмн-ва данного мн-ва, кроме пустого и его самого.

Напр.:

1) 3<5 с теоретико-множ. позиции

3=n(A)

5=n(B)

Во мн-ве В мы можем выделить собственное подмн-во B₁, равномощное мн-ву А (A~B₁), то по определению 3<5.

2) 4<6

4=n(A)

6=n(B)

Так как в В можно выделить подмн-во В₁ с колич-вом эл-тов «4», так чтобы A~B₁ => n(A)<n(B) => 4<6 (по определению).

3) 7<10

N₇={1, 2, …, 7}

N₁₀={1, 2, …, 10}

(N₇<N₁₀) => (7<10)

«7» меньше «10» потому что при счете «7»называется раньше «10».

Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-х теоретико-множ. смысл:

а) натур-го числа



∆∆∆∆∆∆∆

ОООО

Каких фигур одинак-е кол-во?

б) отнош-е «меньше».

1) Почему «7» меньше «10»?

2)  и ООООООО

Каких фигур меньше? Почему?

10. Теоретико-множественный смысл суммы натур-х чисел. Св-ва слож-я, их теоретико-множественный смысл и назнач-е. Словесные формулировки св-в слож-я, изучаемых в нач. шк. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрывающих теоретико-множественный смысл суммы натур-х чисел.

Пусть a и b – натур-е числа; a – число эл-тов во мн-ве A (a=n(A)) и b=n(B), A∩B=Ø (пересечение).

Тогда a+b=n(AUB) (объединение).

Напр.:

Сумма 3+4.

3 – число эл-тов в некотором мн-ве A, а 4 – число эл-тов в мн-ве B. Эти мн-ва объединили.

∆∆∆ U ОООО

3+4=n(AUB)=7

Сумма натур-х чисел a и b представляет собой число эл-тов в объед-ии конечных непересек-ся мн-в А и В таких, что a=n(A), b=n(B).

Если мн-во объединить с пустым мн-вом, то получим, то же мн-во.

Св-ва сложения: