1. Свойства формата с фиксированной точкой

Формат наделен некоторой совокупностью свойств, которые влияют на результат вычислений, на затраты памяти ЭВМ для хранения чисел и на затраты оборудования и времени при вычислениях. Поэтому каждый программист и тем более разработчик цифровой аппаратуры должен знать свойства формата и учитывать их при решении своих задач.

Ниже рассматриваются основные свойства форматов с фиксированной точкой при записи в них чисел представленных в прямом коде. Свойства формата при записи чисел в обратном и в дополнительном коде описаны в разделе 3.2.

1. Ограниченный диапазон представления чисел

Ограниченный диапазон представления чисел имеет место в форматах фиксированной длины. Числа представимые в формате рис.3-2 принадлежат диапазону (рис.3-5). Причем

(3-01)

где – количественный эквивалент максимальной цифры алфавита системы счисления с основанием P;

и – длины полей целой и дробной части числа соответственно.

Рис.3-5. Числа представимые в формате

Целые числа, принадлежащие диапазону , представлены в форматах целого рис.3-3а и смешанной дроби рис.3-2 точно. В формате правильной дроби рис.3-3б целые числа, кроме нуля, представить нельзя.

Из бесконечного множества действительных чисел не равных нулю принадлежащих интервалу в форматах рис.3-2 и рис.3-3б могут быть представлены абсолютно точно только числа. Остальные действительные числа, принадлежащие диапазону , могут быть представлены только приближенно после их округления по правилам, изложенным в разделе 3.3.2.

Интервалы между точными соседними числами, представляемыми в формате, одинаковы и равны весу младшего разряда . Поэтому плотность их распределения на числовой оси равномерна.

Действительные числа после округления и целые числа, превышающие по модулю , не могут быть представлены в формате и принадлежат области положительного или отрицательного переполнения формата.

Нижние границы диапазонов положительных и отрицательных чисел не равных нулю представляемых в формате определяются значением равным весу разряда в младшей позиции формата.

Число ноль представляется двумя способами как (+0) или как (–0).

1. Точность действительного числа в формате и точность формата

Прежде чем определять понятия точность числа в формате и точность формата напомним читателю о понятиях погрешности и точности чисел, используемых в вычислительной математике без каких-либо ограничений на длину записываемых чисел.

Число является носителем информации о количестве. Если число указывает на единственно возможное количество, то оно определяет это количество точно и является точным. Например, число 254 точное, если оно определяет единственно возможное количество. Число (запись можно рассматривать как число в специальной не позиционной системе счисления) точное и описывает количество 3,14159…, которое нельзя записать на языке позиционной системы счисления с основанием 10. В тех случаях, когда количество нельзя описать точно или мы не владеем информацией о точном значении количества, и в иных случаях используют неточное описание количества числом. Число, описывающее количество неточно называют неточным числом или приближенным числом.

Неточному числу на числовой оси соответствует точка, в окрестностях которой размещена точка соответствующая точному значению числа. Задавая приближенное число вместо точного числа, тем самым описывают некоторую достаточно размытую область чисел на числовой оси, которой принадлежит число, описывающее количество точно. Размеры этой области определяет предельная погрешность представления точного числа числом приближенным.

Разницу , где – точное число; – его приближенное значение (неточное число); называют погрешностью приближенного неточного числа . Если известно, что

(3-02)

то величина называется предельной абсолютной погрешностью неточного числа .

Отношение

(3-03)

называют предельной относительной погрешностью. Последнюю часто выражают в процентах. Для краткости слово «предельная» обычно опускают.

Пример 3-1. Число 3,14 является приближенным значением числа . Его погрешность . Предельную абсолютную погрешность можно принять равной 0,0016, а предельную относительную погрешность – равной

или 0,051%.

Неточные действительные числа получают, например, при измерении физических величин. Неточное целое число будет получено при подсчете количества людей на планете.

Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных цифр оно содержит. При подсчете верных цифр нули слева не считают, а нули справа учитывают. Зная количество верных цифр можно определить погрешности приближенного числа.

Количество верных цифр в числе является мерой точности числа или для краткости точностью числа.

Пример 3-2. Если известно, что число 0054,130098 имеет 5 верных цифр, то тогда цифры расположенные справа от 0 соседнего с 3 могут быть любыми, и записывать их не имеет смысла. Поэтому в записи приближенного числа сохраняют только верные цифры, округляя число отбрасыванием неверных цифр. Этот способ округления получил название округление до нуля. Запись приближенного числа 0054,130098 примет вид 54,130. Значение точного числа . Следовательно, , и из (3-02) следует, что предельная абсолютная погрешность приближенного числа 54,130 равна весу младшего верного разряда.

Обратите внимание на то, что записи приближенных чисел 54,130 и 54,13 – это записи разных чисел, несмотря на то, что их количественные эквиваленты совпадают. Запись 54,130 означат, что соответствующее ей точное число принадлежит интервалу , а точное число, соответствующее приближенному 54,13, принадлежит совсем другому интервалу . А это далеко не одно и то же. Первая запись указывает на то, что число имеет точность 5 цифр, а вторая указывает, что точность числа 4 цифры.

В тех случаях, когда записывают приближенные целые числа с ограниченным количеством верных цифр, используют следующий способ записи. Пусть приближенное целое число 23156 имеет только три верных цифры. Тогда его записывают как или, например как , выделяя тем самым верные цифры.

В общем случае при округлении до нуля действительного числа

(3-04)

где – индекс старшего значащего разряда приближенного числа;

– количество верных значащих цифр в числе.

В примере 3-2 и . Поэтому .

Предельную относительную погрешность приближенного числа можно найти из отношения (3-03).

Чтобы упростить вычисление погрешности при большом , учитывают только старшую цифру и ее вес, заменяя в (3-03) значение старшей цифрой умноженной на ее вес . Тогда после подстановки в (3-03) получим

. (3-05)

Сравним результаты вычисления предельной относительной погрешности по выражениям (3-03) и (3-05) для случая, рассмотренного в примере 3-2.

При вычислении по (3-03) ; при вычислении по (3-05) . Не трудно видеть, что выражение (3-05) несколько завышает величину предельно возможной относительной погрешности.

Результат округления до нуля положительных чисел занижен, а отрицательных чисел завышен. Знак погрешности не совпадает со знаком числа.

Для уменьшения погрешности неточного числа используют округление исходного числа до ближайшего числа (способы округления чисел описаны в разделе 3.3.2). При этом способе округления предельная абсолютная погрешность округления уменьшается до половины веса младшего значащего разряда

. (3-06)

Соответственно вдвое уменьшается предельная относительная погрешность вычисления. Ее можно вычислять исходя из отношения (3-03), подставив значение из (3-06), или по выражению

. (3-07)

Поскольку округление до ближайшего числа вдвое уменьшает погрешность приближенного числа и знак погрешности равновероятен этот способ округления является основным.

Обратите внимание на то, что погрешности зависят не только от количества верных цифр в числе, а и от основания системы счисления , в которой они записаны. Поэтому, например десятичное число с 5 верными цифрами имеет погрешности многократно меньшие, чем двоичное число с 5 верными цифрами. Следовательно, указывая точность числа, выраженную количеством достоверных цифр в числе, следует оговаривать основание системы счисления, в которой представлено число, если только это не очевидно из контекста.

Оценка точности числа количеством верных цифр очень проста и поэтому находит широкое применение.

В вычислительной математике рассматриваются правила выполнения действий над приближенными числами, представленными в форме описанной выше. Они позволяют вычислять результаты и их точность и погрешности. Эти правила применимы при вычислении на ЭВМ, но только в том случае, когда числа в ЭВМ представляются в форматах переменной длины и в формате сохраняется столько цифр, сколько требуют сохранять правила приближенных вычислений.

Обычно в современных ЭВМ используют форматы фиксированной длины, что необходимо учитывать при приближенных вычислениях.

Формат числа с фиксированной точкой и фиксированной длиной полей

1. Ограничивает количество цифр в записываемом числе величиной .

1. Не позволяет записывать меньше чем цифру.

Из 1) следует:

1. В формат нельзя записать число с количеством верных цифр большим чем . Это ограничивает сверху точность чисел записываемых в формат. В связи с этим формат принято характеризовать его точностью. Точность формата определяют количеством позиций в формате, т.е. его длиной . Точность двоичного формата принято оценивать длиной формата выраженной в битах. Например, точность формата двойной длины (табл.3.1) равна 64 бита.

2. В формат можно записывать числа, имеющие абсолютную точность. Количество абсолютно точных чисел, которые можно записывать в формат с учетом , равно .

3. Количество приближенных чисел с максимально возможным количеством верных цифр⁵, которые можно записать в формат, составляет .

Из 2) следует:

4. В формате могут быть записаны точные и приближенные числа, содержащие нули в старших разрядах. Наличие нулей в старших разрядах приближенного числа указывает, что его точность меньше точности формата.

5. Приближенные числа, записанные в формат, могут иметь неверные цифры в младших разрядах. Поэтому оценить точность числа по его записи в формате не представляется возможным.

6. Ничто не препятствует записи в формат числа со всеми неверными цифрами. Такие числа не несут информацию о количестве и не имеют практической значимости.

7. Точность формата позволяет лишь утверждать, что точность числа записанного в формат не больше чем точность формата.

Точное число 0 записывается в формат абсолютно точно. Однако не исключено, что некоторые маленькие числа не равные нулю, даже абсолютно точные, принадлежащие на рис.3-5 интервалам между 0 и , после их округления до точности формата заменяются приближенным числом равным 0. Такой приближенный 0 после записи его в формат не отличим от точного числа 0. Приближенный 0 может стать причиной грубейших ошибок при вычислении. Например, пусть абсолютно точное число равное записанное в формат нужно разделить на точное число , записанное в формат после округления как приближенный 0. Результат их деления получится равным , в то время как правильный результат деления равен 2.

В связи со сказанным приближенный 0, записанный в формат, называют машинным нулем.

Не следует путать понятие точность формата с количеством верных цифр в числе, записанном в формат. Это далеко не одно и то же. Кроме того, необходимо учитывать, что далеко не все методы приближенных вычислений, изложенные в литературе, применимы при вычислениях на ЭВМ, использующей для представления действительных чисел формат фиксированной длины.

Выполняя вычисления при неточных исходных данных или округляя промежуточные результаты, получают результат неточный. Пригодность результата для последующего применения зависит от его точности. Поэтому при вычислениях стремятся обеспечить максимальную или заданную точность результата и дать оценку его точности. Для этого используют методы теории приближенных вычислений и в процессе вычислений контролируют величины погрешностей промежуточного и конечного результата.

В некоторых случаях описывают область на числовой оси, которой принадлежит точное число, задавая двойку ее границ (верхнюю и нижнюю), и вместо вычисления неточного результата выполняют вычисление границ области, которой принадлежит точный результат. Для этого применяют методику вычислений, получившую название Арифметика интервалов [5-7]. При выполнении операции по значениям границ операндов определяют границы, в пределах которых лежит значение результата. Ширина интервала между границами является показателем точности результата. Разработано множество способов, позволяющих формировать достаточно узкие интервалы результатов вычислений и, следовательно, получать высокую точность результата. Однако при некоторых вычислениях интервал результата может быть неоправданно большим.

Проблема приближенных вычислений рассматривается, например в [8] и [9].