5

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский Государственный электротехнический

университет им. В.И. Ульянова (Ленина) “ЛЭТИ”

Кафедра ЭУТ

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине:

«Методы анализа и обработки сигналов»

Выполнила:

Группа:

Преподаватель: Коновалов К.С.

Санкт-Петербург

2008 г.

Содержание

3

4

4

4

6

6

9

9

11

14

16

17

Задание…………………………………………………………………………………….

1. Определение параметров случайного процесса…………………………………….

1.1. Нахожднние математического ожидания и

дисперсии случайного процесса ………………………………..…………..

1.2. Нахождение корреляционной матрицы

случайного процесса………………………………………………………….

1.3. Проверка стационарности случайного процесса

в широком смысле…………………………………………………………….

1.4. Нахождение нормированной корреляционной

матрицы случайного процесса……………………………………………….

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального

фильтра………………………………………………………………………………

2.1. Построение согласованного фильтра……………………………………..

2.2. Построение квазиоптимального фильтра……………………………………

3. Определение характеристик обнаружения………………………………………….

4. Выводы………………………………………………………………………………….

Литература……………………………………………………………………………..

ЗАДАНИЕ N 20

1.Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию.

2.На вход приемного устройства поступает сигнал

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A exp(-t²/_²) cos(_t+_)

A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

_ = 1,5 мкс, ₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:

n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S()=N₀/2

в полосе || = ₂ - ₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

₀=2f₀; f₀ = 5*10⁶ Гц; || = 2*4*10⁶

Требуется определить:

А.Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 1 колебательного контура.

В.Зависимость P_D, где ^_s²/_n² на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - интегратор - пороговое устройство k=15.При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀= 0 ложного срабатывания регистратора в N₀ = 10⁴ независимых точках анализа.

1. Определение параметров случайного процесса

1.1. Нахождение математического ожидания и дисперсии случайного процесса Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса X(t) в дискретные моменты времени будут задаваться следующими формулами

,

где –математическое ожидание , –дисперсия.

1.2. Нахождение корреляционной матрицы случайного процесса

Корреляционная матрица случайного процесса X(t) будет находится из корреляционных моментов сечений процесса X(t) в дискретные моменты времени по формуле:

1.3. Проверка стационарности случайного процесса в широком смысле

По оценкам математического ожидания и дисперсии можно сделать заключение о стационарности случайного процесса в широком смысле. Для этого приближенно полагают, что процесс можно считать стационарным в широком смысле, если максимальное отклонение математического ожидания от среднего математического ожидания значительно меньше среднеквадратического отклонения по множеству оценок.

Расматриваемый случайный процесс является стационарным в широком смысле, т.к. условие выполняется.

1.4. Нахождение нормированной корреляционной матрицы случайного процесса

Нормированная корреляционная матрица случайного процесса X(t) будет находится по формуле:

Поскольку процесс стационарный в широком смысле мы можем перейти

, где

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра

2.1. Построение согласованного фильтра

Найдем выражение для спектра заданного сигнала S(t).

В общем виде:

По условию случайная фаза сигнала равномерно распределена в интервале [-;]. В связи с этим для вычисления функции неопределенности подставим в формулу выражение для сигнала, в котором за ₀ примем среднее значение фазы равное нулю. Подставляя в данное выражение комплексную амплитуду сигнала с учетом приведенных допущений, получим:

Для вычисления интеграла преобразуем показатель экспоненты следующим образом:

Выражение для спектра сигнала, с учетом полученных выражений, примет вид:

Произведем замену переменных:

Тогда:

Частотная характеристика согласованного фильтра для сигнала определяется выражением:

Подставляя сюда спектр сигнала, получим:

Определим значение t₀:

Вычисления произведем в MathCad:

Для построения оптимального фильтра необходимо выполнение принципа практической реализуемости:

Правило не соблюдается, поскольку интеграл расходящийся, поэтому можно сказать, что построение оптимального фильтра невозможно.