Производная
.doc
Типовые задачи по разделу "ДИФОП".
-
Вычислить f '(a), в том числе для функции, заданной параметрически.
-
Записать уравнение касательной прямой к графику функции в заданной точке
-
Используя формулу Тейлора, вычислить приближенное значение функции в точке b=a+0.01.
-
Используя формулу Тейлора, исследовать свойства функции и схематически изобразить график функции в окрестности точки.
-
Найти интервалы монотонности функции.
-
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.
-
Доказать неравенство f(x) > g(x) на заданном промежутке (a;b).
-
Найти точки локального экстремума функции.
-
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке.
-
Исследовать непрерывность и точки разрыва функции.
-
Найти точки перегиба графика функции.
-
Используя правило Лопиталя, вычислить предел ( "0.";" - "; 1
( sin(x-1).tg(πx/2); x1); (1/arctg(x) - 1/x); x0); (xsin(x); x+0); (x1/x;x); (1+1/x2)x; x)
«Заочный экзамен».
-
Экз.: доказать 2,4,5,6,7 таблицы производных элементарных функций.
-
ЭКЗ. :доказать правила 2,3,4 дифференцирования функций.
-
Глава. Дифференциальное исчисление функции одной вещественной переменной.
-
§1 Производная функции в точке; полином и формула Тейлора 1 порядка; касательная прямая.
Воспоминания. (1) ( x)– б/малая при xa lim( x)=0; (2) ( x)=o((x)) lim[( x)/ (x)]=0 при xa
(3) limf(x)=f(a) f(x)-f(a) - б/малая при xa ; (4) ( x), (x) - б/малые при xa ( x)(x)= o((x))= o((x))
P(x)=an(x-a)n+an-1(x-a)n-1+…+a1(x-a)+a0 – полином степени “n”.
---------------------------------------------------------------------------
Пусть функция f непрерывна в точке х=а Û limf(x)=f(a) Û при х®а
a(x)=f(x)-f(a); b(x)=x -a бесконечно малые; рассмотрим предел их отношения в точке a:
Определение1. Если существует КОНЕЧНЫЙ предел отношения его называют производной функции f в точке х=а и пишут
(*)
Если же предел не существует или равен , говорят, что производная в точке не существует.
Например,
1)f: RR; f(x)=x2 непр. x=aRf’(a)=lim(x2-a2)/(x-a)=lim(x+a)=2a
2) g: Rg(x)=; непр. а=-8g’(-8)=lim[(+2)/(x+8)]=(x-8)=
=lim[1/)(-2+4)]=1/12
3)
4)f=tg а=0-точка разрыва 2 рода (АЛЕВ=АПР=)не существует f’(0).
-------------------------------------------------------------------------
Следствия. f’(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)]
1. (f(x)-f(a))/(x-a) – f’(a)=(x)- б/малая функция при xa
f(x)-[f(a)+f’(a)(x-a)]= (x)(x-a)o(x-a)
------ T1(x,a)--- - полином первой степени
f’(a)
Определение. Полином (2)) называется полиномом Тейлора функции f в окрестности точки х=а, а равенство (1) называется формулой Тейлора 1-го порядка при xa.
Таким образом, если существует f’(a), значения функции f(x) при xa отличаются от значений полинома Тейлора T1(x,a) на б/малую более высокого порядка малости чем (x-a).
Например, f(x)= ; a=-8 ;
f(-7.9)= T1(-7.9;-8)=-2+0.1/12=-1.9917;|f(x)-T1(x,a)|10-4
---------------------------------------------------------------------------
2. Геометрически, отношение [f(x) - f(a)] / (x - a) = tg(a) определяет тангенс угла наклона секущей АВ {B(x,f(x); A(a,f(a) } графика y=f(x).
a
Предельное положение секущей АВ при х ®а определяет касательную прямую к графику в точке (a, f(a)) yкас=f(a)+f’(a)(x-a), причем
-
тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке;если f’(a)=0 КАС=0–горизонтальная касательная
-
касательная является графиком полинома Тейлора y=T1(x,a)
В дальнейшем будем отождествлять существование производной в точке и существование касательной к графику функции в точке A(a,f(a) ).
=============================================================
Например, f(x)=x2; f(1)=1; f’(1)=2 yкас=1+2(x-1); кас = arctg(2)63о
-
угол наклона касательной к графику y=x2в точке A(1,1);
g(x)= ; a=1G(1)=1; G’(1)=1/3; yk=1+; кас = arctg(1/3)18о
-
§2 Производная функция; производные элементарных функций; “арифметические” правила дифференцирования функций.
Пусть f: DfRR; f(x)- непрерывная функция.
Если "aÎDf’ÌDf $f’(a), то на множестве Df’ определена производная функция
Например,
Таблица производных элементарных функций
f(x) |
f’(x) |
f(x) |
f’(x) |
1) x |
x-1 |
4) sin(x) |
Cos(x) |
x |
1 |
5) cos(x) |
-sin(x) |
;x0 |
1/2;x>0 |
6) tg(x) xR/{/2+k;kZ} |
1/cos2(x) |
|
7) ctg(x) |
-1/sin2(x) |
|
2) ax |
axln(a) |
8)arcsin(x) |x|1 |
1/ |
ex |
ex |
9)arcos(x) |x|1 |
1/ |
3)loga(x);x>0 |
1/(xln(a) |
10) arctg(x) |
1/(1+x2) |
ln(x) |
1/x |
11) arcctg(x)
|
-1/(1+x2)
|
Докажем,например,
Экз.: доказать 2,4,5,6,7
Из определения производной функции и свойств пределов следуют «арифметические» правила вычисления производных :
(1) (с)’=0 – производная функции-константы;
(2) (cf(x))’=cf’(x);
(3) (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x) – производная суммы функций;
(cf(x)+dg(x))’=cf’(x)+dg’(x)- производная линейной комбинации функций;
(4) (f1f2)’(x)= f1’(x)f2(x)+ f1(x)f2’(x) – производная произведения функций;
(5) - производная отношения функций.
Докажем, например,
5)
Например, (xsin(x))’=(x)’sin(x)+x(sin(x))’=sin(x)+xcos(x);
(x/sin(x))’=[sin(x)-xcos(x)]/sin2(x)==
ЭКЗ. Доказать 1,2,3,4
Экз. задача. Для заданной функции:
1) определить производную функцию;
2) Записать уравнение касательной прямой к графику в точке; вычислить угол ее наклона к оси абсцисс и схематически изобразить “поведение” функции в окрестности точки;
3) Записать полином и формулу Тейлора в окрестности точки, вычислить приближенное значение функции в точке х=а0.01.
Например, f(x)=2ex-3xcos(x); a=0.
1) f’: RR;f’(x)= 2ex - 3(cos(x)-xsin(x));
2)f(0)=2;f’(0)=2 –3=-1=tg(К) К=arctg(-1)=-/4; уК=2-(х-0)=2-x;
3) x1f(x)=T1(x,0)+o(x-1); T1(x,0)= 2-x;
f(1.01) T1(1.01,1)=2 -0.01=1.99;f(1.01)=2e.01-30.01cos(0.01)1.9901
Погрешность приближения f=f(0.01)-T1(0.01;0)110-4
-
§3 Производная суперпозиции функций; логарифмическая производная.
Пусть: 1) задана суперпозиция функций
и 2) существуют производные f’(a), g’(b); b=f(a).
Теорема(производная суперпозиции функций).
«Если (1) f’(a) и (2) g’(b=f(a)), то (gf)’(a)=g’(b)f’(a)»
Док-во.
Обозначим y=f(x); b=f(a). Из существования производных f’(a) и g’(b) следует непрерывность функций f и g в точках x=a и y=b, т.е.
По определению производная суперпозиции g·f в точке х=а равна
Производная суперпозиции функций равна ПРОИЗВЕДЕНИЮ производных
составляющих эту суперпозицию функций.
Примеры.
1. f(t)=>f’(t) [f(ax+b)]’=f’(t)(ax+b)’=f’(ax+b)a: [(2x-3)3]’=32(2x-3)2
f(x)=sin2(3x)=()2 sin(3x) f’(x)=2sin(3x)cos(3x)3=3sin(6x)
3.
xx2 ln(x2) sin(ln(x2))
==================================================================
Замечание. Из основного логарифмического тождества A=eln(A)
(а)f(x)>0; f(x)=eln(f(x)) , (б) (et)’=et и (в) производной суперпозиции
[et(x)]’=ett’(x) следует формула, которую называют «логарифмической производной» функции
f'=eln(f(x))´[ln(f)]' = f(x)´[ln(f)]'
Эта формула «полезна» при вычислении производных произведения, отношения функций и производной степенно-показательной функции f(x)g(x).
====================================================================
Например,
2)
f'(Ö2)=2Ö2 ln(2e);
-
§4 Свойства функций, дифференцируемых на промежутке
-
(теоремы Ролля, Лагранжа).
Tеорема Ролля / без док./ Если функция f: a) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b]; б) дифференцируема внутри него x(a,b)f'(x) и в) принимает на концах промежутка равные значения f(a)=f(b), то внутри промежутка существует точка cÎ(a,b) ,касательная к графику y=f(x) в которой горизонтальна (производная f/(c)=0).
f[a,b] непр.@ $f/[(a,b)] @ f(a)=f(b) Þ $c Î(a,b): f/(c)=0
Все три условия теоремы существенны !!!
x
) Aлевf(b) f(a) f(b)
a c b
Теорема Лагранжа Если функция f : a) непрерывна на [a,b];
b) диффернцируема на (a,b); то
внутри промежутка существует точка cÎ(a,b) , касательная к графику y=f(x)
в которой параллельна хорде АВ, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)),
y
f(b) B
f(a) A
a c b x
Док-во. Функция F(x)= =f(x)(a-b)-x(f(a)-f(b))+1(bf(a)-af(b))=
удовлетворяет т. Ролля : 1) f(x), x - непр.; на [a,b]; 2) дифф. на (a,b) и 3) F(a)=F(b)=0;
: $с Î(a,b) :
Cледствие. Если f удовлетворяет т.Лагранжа на [a,b], она удовлетворяет ей и на любом промежутке [x,xo]Ì[a,b] , поэтому имеет место
ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА (формула конечных приращений )
СРАВНИТЕ !! формулы ЛАГРАНЖА и ТЕЙЛОРА для дифференцируемой функции f: