Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.П. Аксёнов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Учебное пособие

Санкт-Петербург

1999

УДК 517.38, 517.3821

Аксёнов А.П. Математический анализ. (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во

«НЕСТОР», 1999, 157 с.

Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика».

Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Определенный интеграл», «Несобственные интегралы», «Приложения определенного интеграла». Рассмотрено большое количество примеров.

Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия.

Ил. 56. Библ. 3 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Понятие определенного интеграла

Чтобы подойти к понятию определенного интеграла, рассмотрим следующие задачи.

Задача 1 (о пройденном пути). Тело движется по прямой линии, причем его скорость в момент времени t равна v (t) , t [a, b]. Найти значение пути S, прой-

денного телом за промежуток времени от t = a до t = b ( a < b ).

Разбиваем промежуток времени [a, b] произвольным образом на n частич-

ных промежутков [tk , tk +1], k = 0,1, 2, K, n −1 ( a = t0 < t1 < t2 <K< tn−1 < tn = b ).

Полагаем ∆tk = tk +1 −tk , λ = max{∆t0 , ∆t1, K, ∆tn−1}. Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течение промежутка времени [tk , tk +1] ско-

рость v (t) тела можно приближенно считать постоянной, равной v (τk ) , τk – любое, принадлежащее [tk , tk +1]. Тогда значение пути ∆Sk , пройденного телом за промежуток времени от t = tk до t = tk +1 , будет приближенно выражаться

формулой

∆Sk ≈ v (τk ) (tk +1 −tk ) = v (τk ) ∆tk .

Значение всего пути S, пройденного телом за промежуток времени от t = a до t = b , будет приближенно выражаться суммой, состоящей из n слагаемых

	n−1	~
	S ≈ v (τ0 ) ∆t0 + v (τ1 ) ∆t1 +K+ v (τn−1 ) ∆tn−1 = ∑v (τk ) ∆tk .
		(1 )
	k =0

Интуитивно ясно, что чем меньше частичные промежутки времени [tk , tk +1],

тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая движение в течение всего промежутка [tk , tk +1] равномерным.

Поэтому естественно принять за путь S, пройденный телом за промежуток

= = < ~ λ →

времени от t a до t b ( a b ), предел суммы (1 ) при 0 , т.е.

n−1

S = λ→lim0 ∑v (τk ) ∆tk

k =0

Задача 2 (о массе неоднородного стержня). Имеется неоднородный стержень длины l ( = b −a) (рис. 1.1). Пусть ρ( x) , x [a, b], – линейная

(λ → 0 n → ∞) .

0

a

b

x

Рис. 1.1. К задаче о массе стержня

плотность распределения массы вдоль стержня. Найти массу m этого стержня.

Разбиваем	стержень произвольным образом на n участков	[xk , xk +1],
k = 0,1, 2, K, n −1	( a = x0 < x1 < x2 <K< xn−1 < xn = b ).	Полагаем

∆xk = xk +1 − xk , λ = max{∆x0 , ∆x1, K, ∆xn−1}. Предполагаем частичные проме-

3

жутки столь малыми, что на участке от x = xk до x = xk +1 линейную плотность распределения массы ρ( x) вдоль стержня можно считать постоянной, равной ρ(ξk ), где ξk – любое, принадлежащее [xk , xk +1]. Тогда масса ∆mk k-го участ-

ка стержня будет приближенно выражаться формулой

∆mk ≈ ρ(ξk ) ∆xk .

Масса m всего стержня будет выражаться приближенно суммой, состоящей из n слагаемых

n−1	~
m ≈ ρ(ξ0 ) ∆x0 +ρ(ξ1 ) ∆x1 +K+ρ(ξn−1 ) ∆xn−1 = ∑ρ(ξk ) ∆xk .	( 2)
k =0

И здесь интуитивно ясно, что чем мельче участки [xk , xk +1], тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая участок стержня [xk , xk +1] однородным. Поэто-

~ λ →

му за массу стержня естественно принять предел суммы ( 2) при 0 , т.е.

n−1

m = λ→lim0 ∑ρ(ξk ) ∆xk (λ → 0 n → ∞) .

k =0

Введем теперь понятие определенного интеграла.

Пусть функция f ( x) задана на промежутке [a, b] (a и b – конечные числа,

a< b ). Проделаем следующие операции.

1.Разбиваем промежуток [a, b] произвольным образом на n частичных про-

межутков [xk , xk +1], k = 0,1, 2, K, n −1 ( a = x0 < x1 < x2 <K< xn−1 < xn = b ). По-

лагаем ∆xk = xk − xk −1 , λ = max{∆x0 , ∆x1, K, ∆xn−1} (число λ будем называть

рангом дробления). Отметим, что n → ∞, если λ → 0 .

2. В каждом частичном промежутке [xk , xk +1] берем произвольную точку ξk и вычисляем в ней значение функции f , т.е. находим f (ξk ) .

3. Умножаем найденное значение функции на длину соответствующего частичного промежутка:

f (ξk ) ( xk +1 − xk ) (f (ξk ) ∆xk ), k = 0,1, 2, K, n −1. 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму

n−1

σ= ∑f (ξk ) ∆xk .

k =0

Сумму σ будем называть интегральной суммой Римана. Отметим, что σ зависит, вообще говоря, как от способа разбиения [a, b] на части [xk , xk +1], так и

от выбора точек ξk в [xk , xk +1].

5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ.

λ→0

Если существует конечный предел J = lim σ и этот предел не зависит ни от

λ→0

способа разбиения промежутка [a, b] на части [xk , xk +1], k = 0, n −1, ни от спо-

4

соба выбора точек ξk в [xk , xk +1], то его называют определенным интегралом

b

от функции f ( x) в промежутке [a, b] и обозначают символом ∫ f (x) dx .

a

Таким образом,

b		b		n−1
∫ f (x) dx = lim σ		∫ f ( x) dx = lim		∑ f (ξk ) ∆xk
a	λ→0	a	λ→0 k =0

(число a – нижний предел, а число b – верхний предел интеграла).

Замечание 1. Соотношение J = lim σ означает: любому числу

λ→0

(1)

ε > 0 отвеча-

ет число δ > 0 такое, что для любого разбиения промежутка [a, b] на части [xk , xk +1], у которого ранг дробления λ < δ, независимо от выбора точек ξk на частичных промежутках [xk , xk +1], оказывается σ − J < ε .

Следует обратить внимание, что здесь мы имеем дело с новым типом предельного перехода.

	b
Если у функции	f ( x) , определенной в [a, b] , существует ∫ f (x) dx , то будем
	a	)
говорить, что f ( x)	(
	интегрируема в [a, b] , и писать f ( x) R [a, b] ( f ( x) при-

надлежит классу R в промежутке [a, b] ).

Замечание 2. Не у всякой функции f ( x) , определенной в [a, b] , существует

b

∫ f (x) dx . Убедимся в этом на следующем примере.

a

Пусть функция f ( x) задана на промежутке [a, b] так:

		1,	если	x	− рациональная точка,
		f ( x ) =	если	x	− иррациональная точка.
		0,
( f ( x) , x [a, b] – функция Дирихле).
Разобьем промежуток [a, b]				произвольным		образом на части [xk , xk +1],
k =		( a = x0 < x1 < x2 <K< xn−1 < xn = b ).				Если в качестве точек ξk в
	0, n −1
[xk , xk +1] брать рациональные точки, то получим
			n−1		n−1
		σ = ∑ f (ξk ) ∆xk = ∑1 ∆xk = b −a .
			k =0		k =0

Если в качестве точек ξk в [xk , xk +1] брать иррациональные точки, то получим

n−1	n−1
σ = ∑ f (ξk ) ∆xk = ∑0 ∆xk = 0 .
k =0	k =0

5

Рис. 1.2. К определению площади криволинейной трапеции

Видим, что для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм,

не зависящего от способа выбора точек ξ	k	в [x	k	, x	k +1	]. Значит, f ( x) R [a, b] .
						(	)

Ниже, в §3 этой главы, будут установлены некоторые классы функций, ин-

b

тегрируемых в промежутке [a, b] . В частности, будет доказано, что ∫ f (x) dx

существует, если f ( x) C([a, b]).

a

Замечание 3. Принимая во внимание определение определенного интеграла, можно заключить:

В задаче 1 значение пути S, пройденного телом за промежуток времени от t = a до t = b ( a < b ), определяется по формуле

b

S = ∫v (t) dt .

a

В задаче 2 масса m неоднородного стержня с линейной плотностью распределения массы ρ( x) , x [a, b] определяется по формуле

b

m = ∫ρ(x) dx .

a

b b

Здесь, конечно, предполагается, что ∫v(t) dt и ∫ρ(x) dx существуют.

a

a

y

Выясним геометрический

смысл

b

y = f (x)

интеграла

∫ f (x) dx . Он вытекает

из

a

решения следующей задачи.

Пусть

функция

f ( x) C [a, b]

и

(

)

f ( x) ≥ 0 ,

x [a, b]

( a < b ). Рассматри-

вается фигура, ограниченная снизу

x

осью Ox,

сверху графиком функции

y = f (x) ,

а с боков отрезками прямых

a=

x0

xk xk +1

xn =b

x = a , x = b . (Такая фигура называется

криволинейной трапецией, рис. 1.2.) Требуется найти площадь S этой криволинейной трапеции.

Разбиваем промежуток [a, b] произвольным образом на n частичных промежутков [xk , xk +1], k = 0, n −1, точками:

a = x0 < x1 <K< xk < xk +1 <K< xn = b .

6

Через точки дробления проводим отрезки пря-

y

мых параллельно оси Oy. Криволинейная тра-

пеция разобьется при этом на n полос. Рас-

смотрим k-ю полосу. Обозначим через Sk пло-

щадь k-й

полосы.

У нас

(

)

f ( x) C [a, b]

f ( x) C [x

, x

]

f ( x)

достигает на про-

M

(

k

k +1

)

k

m

межутке

[xk , xk +1]

своих наименьшего и наи-

k

x

~

~

большего

значений

mk = f ( ξk ),

Mk =

f ( ξk ) ,

xk xk+1

~

~

, xk +1]. Рассмотрим

где ξk [xk , xk +1] и

ξk [xk

Рис. 1.3. К выводу формулы

два прямоугольника. У них общим основанием

для площади криволинейной

является отрезок

xk xk +1 , а высотами являются

трапеции

соответственно mk и Mk (рис. 1.3). Ясно, что

mk (xk +1 − xk ) ≤ Sk ≤ Mk ( xk +1 − xk ), k =

0, n −1.

Просуммировав эти неравенства по значку k от 0 до n −1, получим

~

n−1

n−1

n−1

~

n−1

~

∑mk ∆xk

≤ S ≤ ∑Mk ∆xk ,

или

∑ f ( ξk )∆xk ≤ S ≤ ∑f ( ξk )∆xk .

( 3)

k =0

k =0

~

k =0

~

k =0

n−1

n−1

В этом неравенстве суммы ∑ f ( ξk )∆xk , ∑ f ( ξk )∆xk являются интегральны-

k =0

k =0

ми суммами

Римана для

функции

f ( x)

в

промежутке

[a, b] . Так

как

(

)

(

)

λ→0

b

∫

f (x) dx . Пере-

f ( x) C [a, b] , то

f ( x) R [a, b]

lim σ существует и равен

	~	a
		λ → 0 , получаем:
	ходя в неравенстве ( 3) к пределу при
	b

S = ∫ f ( x) dx .

a

Читая эту формулу справа налево, выясняем геометрический смысл интеграла.

b

Если f ( x) непрерывна и положительна на [a, b] , то ∫ f (x) dx равен площа-

a

ди криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a , x = b , y = 0 , y = f (x) .

Заметим, что современное представление о площади плоской фигуры читатель найдет в главе 3, посвященной приложениям определенного интеграла.

Установим теперь необходимое условие интегрируемости функции f ( x) на промежутке [a, b] .

7

Теорема (об ограниченности функции			f ( x) , интегрируемой в [a, b] ).
(	)	, то f ( x)	– ограниченная в промежутке [a, b] .
Если функция f ( x) R [a, b]
	(	)		b
				∫	f ( x) dx . Но тогда любому ε > 0
* По условию f ( x) R [a, b] . Пусть J =
				a
отвечает δ > 0 такое, что	для	любого	способа разбиения [a, b] на части

[xk , xk +1], у которого λ < δ, независимо от выбора точек ξk на частичных промежутках [xk , xk +1], будет σ − J < ε . В частности, числу ε =1 ( > 0 ) будет отве-

~	такое, что для любого способа разбиения [a, b] на части [xk , xk +1], у
чать δ > 0
которого	~					ξk	на частичных промежутках
	λ < δ , независимо от выбора точек
[xk , xk +1], будет			σ − J		<1.
Возьмем любой способ разбиения [a, b]						на	части		[xk , xk +1], у которого
~
						k = 0, n −1			будут определенными
λ < δ , и закрепим его. (Тогда ∆xk = xk +1 − xk ,

числами). Для такого способа разбиения [a, b] на части [xk , xk +1], независимо от

выбора точек ξk	в [xk , xk +1],	k =	0, n −1	, будем иметь
		n−1
		∑f (ξk ) ∆xk − J				<1.
		k =0
Теперь выберем и закрепим точки ξ1, ξ2 , K, ξn−1							соответственно в проме-
жутках [x1, x2 ],	[x2 , x3 ], K ,	[xn−1, xn ] (тогда f (ξ1 ),					f (ξ2 ), K, f (ξn−1 ) будут

определенными числами). Точку ξ0 оставим свободной в промежутке [x0 , x1] (т.е. точка ξ0 может занимать любое положение в промежутке [x0 , x1]). Будем

иметь

n−1

f (ξ0 ) (x1 − x0 ) +∑f (ξk ) ∆xk − J <1

k =1

для любого положения точки ξ0 в [x0 , x1]. Положим

n−1

C = J −∑ f (ξk ) ∆xk

k =1

(C – определенное число). Предыдущее неравенство запишется теперь так:

f (ξ0 ) (x1 − x0 ) −C

<1,

точка ξ0 [x0 , x1].

(2)

Имеем

f (ξ0 )( x1 − x0 ) = (f (ξ0 )( x1 − x0 ) −C)+C

f (ξ0 )(x1 − x0 )

≤

f (ξ0 )(x1 − x0 ) −C

+

C

f (ξ

0

)(x

− x

0

)

<1+

C

f (ξ

0

)

<

1+

C

.

(3)

1

x1 − x0

8

1+ C

Так как x1 − x0 – определенное число и так как неравенство (3) имеет место для

любого положения точки ξ0 в промежутке [x0 , x1], то заключаем, что функция f ( x) – ограниченная в промежутке [x0 , x1]. Совершенно аналогично устанавливается ограниченность функции f ( x) в каждом из промежутков [x1, x2 ], [x2 , x3 ], K , [xn−1, xn ].

Положим

{

},

M1 = sup {

}, K, Mn−1 =

sup {

}.

M0 = sup

f ( x)

f ( x)

f ( x)

[x0 ,x1]

[x1,x2 ]

[xn−1,xn ]

Пусть

M = max{M0 , M1, K, Mn−1}.

Тогда

f (x)

≤ M , x [a, b]

f ( x) – ограниченная в [a, b] .

Замечание 4. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая функция f ( x) , заданная в [a, b] и ограниченная там, оказывается интегрируемой в [a, b] (например, функция Дирихле). Следовательно, ограниченность функции f ( x) на промежутке [a, b] является лишь необходимым условием интегрируемости этой функции в [a, b] .

§2. Признаки интегрируемости функций

Пусть ограниченная функция f ( x) задана на промежутке [a, b] ( a < b ; a, b – конечные числа).

b

На вопрос, существует или не существует ∫ f (x) dx , ответить, пользуясь не-

a

посредственным определением определенного интеграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных случаях. В связи с этим оказывается важным установление признаков интегрируемости функции f ( x) в промежутке [a, b] .

Но признаки интегрируемости функции f ( x) в [a, b] , как мы увидим ниже, со-

держат понятия верхней и нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.

Итак,	пусть f ( x)	– ограниченная функция, определенная на промежутке
[a, b] . Разобьем [a, b]		на части [xk , xk +1], k =		( a = x0 < x1 <K< xn = b ).
			0, n −1
Так как	f ( x) – ограниченная на [a, b] , то она – ограниченная и на каждом час-

тичном промежутке [xk , xk +1

], k =

. Положим

0, n −1

k

{

}

k

{

}

m

=

inf

f ( x) ,

M

=

sup

f (x) , k =

0, n −1.

[xk ,xk+1]

[xk ,xk+1 ]

9

k		k				{	}
Отметим, что числа m	и M		( k =	0, n −1	) существуют, ибо множество		f ( x) ,
x [xk , xk +1] – ограниченное и снизу, и сверху.
Составим суммы	n−1				n−1
s = ∑mk ∆xk ,					S = ∑Mk ∆xk .
	k =0				k =0

Эти суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающими данному способу разбиения промежутка [a, b] на части [xk , xk +1].

Отметим, что для закрепленного способа дробления промежутка [a, b] на части [xk , xk +1] суммы s и S – определенные числа. Если способ дробления изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и S.

Отметим далее, что интегральные суммы Римана σ даже для закрепленного способа дробления промежутка [a, b] на части [xk , xk +1] принимают, вообще го-

воря, бесчисленное множество значений (за счет различного выбора точек ξk в

[xk , xk +1]).

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.

1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления промежутка [a, b] . Пусть {σ} – множество интегральных

сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления промежутка [a, b] . То-

гда s ≤ σ ≤ S , σ σ .
{ }								{
Из определений	нижней и	верхней	границ множества						f ( x) ,
									}
x [xk , xk +1], имеем
mk ≤ f (ξk ) ≤ Mk , ξk [xk , xk +1] (k =
					0, n −1) .
Умножим каждое из неравенств на ∆xk		(у нас ∆xk > 0). Получим
mk ∆xk ≤ f (ξk )∆xk ≤ Mk ∆xk			(k =
				0, n −1) .
Просуммируем эти неравенства по значку k от 0 до n −1. Получим
n−1	n−1		n−1
∑mk ∆xk ≤ ∑ f (ξk )∆xk ≤ ∑Mk ∆xk ,
k =0	k =0	k =0
т.е. s ≤ σ ≤ S .

2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления промежутка [a, b] . Пусть {σ} – множество интегральных

сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления промежутка [a, b] . То-

гда s = inf{σ}, S = sup{σ}.

Покажем, например, что S = sup{σ}.

Пусть наш закрепленный способ дробления промежутка [a, b] осуществлен точками

x0 , x1, x2 , K, xk , xk +1, K, xn ( a = x0 < x1 < x2 <K< xk < xk +1 <K< xn = b ).

10