Приклади

1. Знайти область визначення функції:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а) Функція задана аналітично. Тому під областю її визначення розуміють множину всіх значень аргументу х, при яких формула має зміст. Оскільки вираз міститься під знаком кореня парного степеня, то він повинен бути невід’ємним, тобто ≥0. Вираз знаходиться у знаменнику дробу. Тому дріб матиме зміст, коли 0. Отже, для знаходження області визначення функції потрібно розв’язати систему рівнянь:

   .

Таким чином, .

б) Функція визначена при всіх дійсних значеннях х, крім . Функція визначена, коли . Розв’яжемо останню нерівність:

   .

Серед чисел , в яких не визначена функція , інтервалу належать лише числа і . Отже, область визначення функції є такою:

.

в ) Функція визначена, коли , а функція , коли . Отже,

D(y):      .

Отже, D(y)= .

2. Знайти область значень функції:

а) ; б)

Розв’язання. а) Область визначення функції є множина R усіх дійсних чисел. Якщо хR, то

 

  .

Отже, E(y)= .

б) Область визначення функції є множина R усіх дійсних чисел. Якщо хR, то . Звідси, враховуючи, що функція зростає на інтервалі , маємо:

 .

Отже, E(y)=(–1;1).

3. Дослідити функцію на парність і непарність за означенням:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання. а) Знайдемо область визначення функції:

D(f): x–40  x4  .

Оскільки D(f)= є несиметричною відносно точки х=0, то задана функція є ні парною, ні непарною.

б) Знайдемо область визначення функції f. Оскільки маємо корені непарного степеня, які мають зміст при будь-якому хR, то D(f)= . Ця множина є симетричною відносно точки х=0.

Оскільки для всіх хD(f), то функція є парною.

в) Знайдемо область визначення функції f:

D(f):   

  .

Отже, D(f)= . Ця множина є симетричною відносно точки х=0. Крім того,

для всіх хD(f).

Отже, функція є непарною.

г) Для заданої функції D(f)= – симетрична множина відносно точки х=0. Однак ні рівність , ні рівність не виконується всіх хD(f). Дійсно, якщо взяти х=1D(f), то

, , ,

тобто , , коли х=1. А це означає, що функція f є ні парною, ні непарною.

4. Дослідити на парність і непарність функцію:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання. Використаємо, властивості пов’язані з парними і непарними функціями.

а) За властивістю 1 функція є парною, як сума скінченної кількості парних функцій.

б) За властивістю 3 функція є парною, як добуток парної кількості непарних функцій.

в) Оскільки функція є непарною, а функція – парною, то за властивістю 6 функція є непарною.

г) Функція є непарною, оскільки внутрішня і зовнішня функції є непарними (властивість 7).

5. Довести, що функція спадає на кожному з інтервалів і , коли k>0.

Розв’язання. Використаємо означення спадної функції. Нехай довільні числа з інтервалу і . Тоді:

,

бо k>0, і (як добуток двох від’ємних чисел). Тому , а це означає, що на інтервалі функція спадає, коли k>0. Аналогічним є доведення спадання функції на інтервалі , коли k>0.

5. Дослідити функцію на періодичність за означенням:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Для заданої функції . Тому для будь-якого хR і для будь-якого Т0 також х+ТR, тобто функція f може мати період.

Припустимо, що Т0 – період заданої функції. Тоді повинна виконуватися рівність , тобто , що рівносильно .

Використавши формулу тригонометрії , одержимо:

 

 

Але період функції не може залежати від аргумента х. Тому – періоди заданої функції, а – її основний період.

При дослідженні функції на періодичність можна було скористатися твердженням про періодичність функції (А, k, b – сталі, А0, b0), де y=f(x) періодична функція. Як відомо, функція періодична і її основний період Т=2. Тому функція також є періодичною і її період дорівнює . Оскільки k=3>0, то цей період є основним періодом функції .

б) Для функції область визначення . Тому перша умова в означенні періодичної функції виконується для будь-якого Т0.

Нехай Т0 – довільне фіксоване число. Тоді

  

 

Оскільки період функції не може дорівнювати нулю і залежати від аргумента х, то функція не є періодичною.

6. Дослідити на обмеженість функцію:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Оскільки для будь-якого хR маємо: , то задана функція обмежена знизу. А з того, що для будь-якого хR, випливає її обмеженість зверху. Отже, функція обмежена.

б) Областю визначення функції є множина R\{0}. Оскільки для всіх хD(f), то задана функція обмежена зверху. Необмеженість її знизу випливає з того, що коли , то .