- •Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
- •§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
- •Правила диференціювання функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Властивості диференціала
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 13
- •§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.4. Застосування похідної до дослідження функцій
- •Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,
- •Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору,
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 14
- •§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі точки х0. Надамо х0 приросту х і розглянемо відповідний приріст функції f(x0)=f(x0+х)–f(x0).
Похідною функції y=f(x) у точці х0 називають границю відношення приросту f(x0) функції до приросту х аргументу, коли приріст аргументу х прямує до нуля. Позначають або .
Отже, за означенням: = .
Якщо =, то кажуть, що функції f у точці х0 має нескінченну похідну.
Для знаходження похідної функції f у точці х0 за означенням потрібно виконати такі кроки:
Надати аргументу х0 приросту х і знайти відповідний приріст функції f(x0)=f(x0+х)–f(x0).
Скласти відношення .
Знайти . Якщо ця границя існує, то вона є похідною функції f у точці х0, тобто = .
Нехай функція y=f(x) визначена на півінтервалі (на піввідрізку ). Вважають, що функція f у точці х0 має ліву (праву) похідну, якщо в цій точці існує ліва (права) границя:
.
Для того щоб у точці х0 існувала похідна , необхідно й достатньо, щоб у цій точці існувала ліва і права похідні цієї функції і щоб ліва похідна дорівнювала правій похідній.
Функцію, що має скінченну похідну в точці х0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція диференційовна в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.
Нехай D1 – множина точок, у яких функція f диференційовна. Поставивши у відповідність кожному числу хD1 число , одержимо нову функцію з областю визначення D1. Цю функцію називають похідною функції y=f(x) і позначають або , або .
Операцію відшукання похідної функції називають диференціюванням функції.
Г еометричний зміст похідної: дорівнює кутовому коефіцієнту k дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, тобто =tg , де – кут між дотичною і додатним напрямом осі абсцис (рис.4.1).
Існування похідної функції f у точці х0 рівносильне існуванню дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0.
Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х0: .
Механічний зміст похідної: якщо матеріальна точка рухається за законом , то дорівнює швидкості точки в момент часу , тобто ; якщо матеріальна точка рухається із швидкістю, що змінюється за законом , то дорівнює прискоренню точки в момент часу , тобто .
Економічний зміст похідної: якщо – кількість виробленої виробником продукції за час t, то дорівнює продуктивності праці виробника в момент часу , тобто .
Правила диференціювання функцій
Похідна суми функцій u і v:
.
Похідна добутку функцій u і v:
.
2.1. (с–стала).
Похідна частки функцій u і v:
, v0.
3.1. (с– стала).
Похідна складеної функції:
, де u=g(x).
Похідна оберненої функції:
.
Похідна степенево-показникової функції:
, f(x)>0, g(x)>0.
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1. (с – стала). |
5. . |
2. , R. |
6. . |
2.1. . |
7. . |
2.2. . |
8. . |
2.3. . |
9. . |
3. . |
10. . |
3.1. . |
11. . |
4. . |
12. . |
4.1. . |
|