- •Заняття 15 Модуль 5. Функції багатьох змінних
- •§5.1. Поняття функції багатьох змінних. Область її визначення. Графік та лінії рівнів.
- •§ 5.2. Границя та неперервність функції багатьох змінних.
- •Дослідити послідовність на збіжність:
- •Дослідити чи існує границя функції в точці :
- •Дослідити функцію на неперервність:
- •§ 5.3. Частинні похідні. Повний диференціал. Диференційовність функції двох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.
- •Заняття 16
- •§ 5.4. Екстремум функції двох змінних. Найбільше та найменше значення функції двох змінних в замкненій області
- •1. Дослідити на екстремум функції:
- •Знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області , якщо:
Заняття 16
§ 5.4. Екстремум функції двох змінних. Найбільше та найменше значення функції двох змінних в замкненій області
Точка називається точкою локального мінімуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок з цього околу виконується умова .
Точка називається точкою локального максимуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок з цього околу виконується умова .
Точка, в якій всі частинні похідні перетворюються в нуль, називається стаціонарною точкою.
Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо - точка екстремуму диференційовної функції , то в цій точці виконуються умови :
Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай — стаціонарна точка функції , причому в околі точки існують неперервні частинні похідні другого порядку цієї функції і
.
І. Якщо , то функція в точці має екстремум:
а) якщо , то — точка мінімуму;
б) якщо , то — точка максимуму.
ІІ. Якщо , то точка не є точкою екстремуму функції .
ІІІ. Якщо , то потрібне додаткове дослідження.
Дві останні теореми вказують алгоритм дослідження диференційовної функції двох змінних на екстремум:
1 крок. Знайти стаціонарні точки, як розв'язки системи
2 крок. У всіх стаціонарних точках перевірити виконання достатніх умов екстремуму.
Нехай — замкнена область, , — диференційовна (а отже і неперервна) функція. Тоді за теоремою Вейєрштрасса функція приймає в області своє найбільше та найменше значення. Точки, в яких функція набуває екстремальних значень, можуть бути як внутрішніми точками цієї області (в цьому випадку це будуть точки локального екстремуму), так і межовими точками.
Тому дослідження диференційовної функції на найбільше (найменше) значення функції в замкненій області доцільно проводити за наступним планом:
Знайти стаціонарні точки і обчислити значення функції в стаціонарних точках, які належать області (при цьому не обов’язково визначати, чи є стаціонарні точки точками екстремуму).
Дослідити функцію на найбільше (найменше) значення на межі .
Серед знайдених значень функції вибрати найбільше та найменше.
Приклади.
1. Дослідити на екстремум функції:
а) ;
б) ;
в) .
Розв’язання. а) Знайдемо стаціонарні точки із системи:
–– стаціонарна точка.
, ;
, ;
, .
. Отже, точка не є точкою екстремуму.
б) Знайдемо стаціонарні точки з системи:
Отже, –– стаціонарна точка.
, ;
, ;
, .
. Отже, –– точка екстремуму. Оскільки , то –– точка локального мінімуму.
в) Знайдемо стаціонарні точки:
–– стаціонарна точка.
, ;
, ;
, .
.
Вищевказана теорема не дає відповіді на питання чи є точка точкою екстремуму. Але легко бачити, що в довільному околі точки є точки, в яких функція набуває додатних значень (це довільні точки з І чверті) і точки, в яких функція набуває від’ємних значень (це довільні точки з ІІІ чверті). Отже, точка не є точкою екстремуму.