Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,

точок екстремуму і екстремумів функції y=f (x)

1. Знайти область визначення функції f і зобразити її на числовій прямій.

2. Знайти .

3. Знайти критичні точки функції f і позначити їх на числовій прямій. (Вони розіб’ють область визначення функції f на інтервали, на кожному з яких зберігає сталий знак.)

4. Визначити знак на кожному з утворених інтервалів. Для цього необхідно обчислити значення у будь-якій одній точці з кожного інтервалу. Інтервали, на яких є інтервалами зростання функції, а на яких – інтервалами спадання функції.

5. За характером зміни знаку при переході через критичні точки знайти точки екстремуму функції f : якщо при переході через критичну точку змінює знак з “–” на “+”, то ця точка є її точкою мінімуму; якщо змінює знак з “+” на “–”, то ця точка є її точкою максимуму; якщо не змінює знаку, то ця точка не є точкою екстремуму.

6. Обчисливши значення функції f в знайдених точках екстремуму, знайти екстремуми f.

Критичну точку x₀ функції f, для якої =0, називають стаціонарною точкою функції f. З’ясувати, чи буде стаціонарна точка x₀ функції f точкою екстремуму цієї функції, можна по іншому, а саме, використовуючи другу похідну функції f: якщо , то x₀ – точка максимуму, а якщо , то x₀ – точка мінімуму функції f.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Якщо функція неперервна на відрізку [a;b], то за другою теоремою Вейєрштрасса вона набуває на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень, тобто існують такі точки х₁, х₂[a;b], що і . Точки х₁ і х₂ можуть бути як внутрішніми точками відрізка [a;b] (але тоді вони обов’язково є точками екстремуму, а, отже, критичними точками функції f), так і його межовими точками (тобто кінцями відрізка [a;b]). Звідси випливає такий алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції f, неперервної на відрізку [a;b]:

1. Знайти область визначення функції f.

2. Знайти .

3. Знайти критичні точки функції f і відібрати ті з них, які належать інтервалу (а;b).

4. Обчислити значення функції f у відібраних критичних точках і на кінцях відрізка [a;b], тобто в точках x=a і x=b.

5. Серед знайдених значень функції f вибрати найбільше і найменше. Це будуть найбільше і найменше значення функції f на відрізку [a;b].

Опуклість графіка функції. Графік функції y=f (x) називають опуклим вгору (опуклим вниз) на інтервалі (a;b), якщо всі точки графіка, за виключенням точки дотику, розміщені нижче (вище) будь-якої дотичної, проведеної до графіка функції на цьому інтервалі (рис.4.5, рис.4.6).

Інтервал (a;b), на якому графік функції y=f (x) опуклий вгору (опуклий вниз), а на будь-якому ширшому інтервалі вже не є опуклим вгору (опуклим вниз), називають інтервалом опуклості вгору (опуклості вниз) графіка функції f.

Достатня умова опуклості вгору (опуклості вниз) графіка функції. Якщо ( ) для всіх х з інтервалу (а;b), то на цьому інтервалі графік функція f опуклий вниз (опуклий вгору).

Точку х₀ з області визначення функції, в якій змінюється характер опуклості графіка функції, називають точкою перегину графіка цієї функції (рис.4.7) У точках перегину дотична перетинає графік функції.

Точки з області визначення функції f, в яких дорівнює нулю або нескінченності, або не існує, називають критичними точками другого роду функції f.

Достатня умова існування точки перегину графіка функції. Якщо x₀ – критична точка другого роду функції f і при переході через цю точку змінює знак, то x₀ є точкою перегину графіка функції y=f (x). Якщо ж при переході через точку x₀ не змінює знаку, то x₀ не є точкою перегину графіка функції y=f (x).