Модуль 2. Вибірковий метод

Приклади розв’язування задач 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15

1. За двома незалежними вибірками, об'єми яких n₁ = 11 і n₂ = 14, витягнутими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені виправлені вибіркові дисперсії  = 0,76 і  = 0,38. При рівні значущості α=0,05, перевірити нульову гіпотезу H₀: D (X) =  D(Y) про рівність генеральних дисперсій, при конкуруючій гіпотезі H₁: D (X) > D(Y).

Відповідь:

Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої:

F_спост =   = 2

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D (X) > D(Y), тому критична область - правостороння.

По таблиці розподілу Фішера, за рівнем значущості α=0,05 та кількості степенів вільності k₁=n₁–1=11–1=10 та k₂=n₂–1=14–1=13 знаходимо критичну точку

F_кр(0,05;10;13) = 2,67

З того, що F_спост < F_кр - немає підстав відкинути гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Інакше кажучи, вибіркові виправлені дисперсії різняться не значимо.

2. За двома незалежними вибірками, об'єми яких n₁ = 14 та n₂ = 10, витягнутими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені виправлені вибіркові дисперсії   = 0,84 і   = 2,52. При рівні значущості α = 0,1, перевірити нульову гіпотезу H₀: D(X)=D(Y) про рівність генеральних дисперсій при конкуруючій гіпотезі H₁: D(X)≠D(Y).

Відповідь:

Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншого:

F_спост =   = 3

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D(X)≠D(Y), тому критична область - двостороння. Відповідно, при відшуканні критичної точки варто брати рівень значущості, удвічі менший заданого.

За таблицею, при рівні  значущості   та степеням вільності k₁=10 – 1 = 9 і k₂ = 14 – 1 = 13, знаходимо критичну точку:

F_кр(0,05; 9; 13) = 2,71.

З того, що F_спост > F_кр — нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій відкидаємо.

3. Двома методами проведені виміри однієї й тієї ж самої фізичної величини. Отримано наступні результати:

а) у першому випадку x₁ = 9,6; x₂ = 10,0; x₃ = 9,8; x₄ = 10,2; x₅=10,6;

б) у другому випадку y₁ = 10,4; y₂ = 9,7; y₃ = 10,0; y₄ =10,3.

Чи можна вважати, що обидва методи забезпечують однакову точність вимірів, якщо прийняти рівень значущості α=0,1? Передбачається, що результати вимірів розподілені нормально та вибірки незалежні.

Відповідь:

Про точність методів будемо казати виходячи з величини дисперсій. Таким чином, нульова гіпотеза має вигляд H₀: D(X)=D(Y). У якості конкуруючої приймемо гіпотезу H₁: D (X)≠D(Y).

Знайдемо вибіркові дисперсії. Для спрощення обчислень перейдемо до умовних варіантів:

u_i = 10x_i – 100, v_i = 10y_i – 100

У підсумку одержимо умовні варіанти

u_i      -4     0    - 2     2     6

v_i       4    -3      0     3

Знайдемо виправлені вибіркові дисперсії:

 =   =   = 14,8

=   =   = 10

Порівняємо дисперсії. Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої (кожна з дисперсій збільшилася в 10² разів, але їхнє відношення не змінилося):

F_спост =1,48

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд D(X)≠D(Y), тому критична область двостороння та при знаходженні критичної точки варто брати рівень значущості, удвічі менший заданого.

За таблицею при рівні значущості α/2 = 0,1/2 = 0,05 і числам степенів вільності k₁= ₁—1=5—1=4 і k₂ = n₂—1=4—1=3 знаходимо критичну точку F_кр (0,05; 4; 3) = 9,12,

Тому що F_спост < F_кр — немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Інакше кажучи, виправлені дисперсії розрізняються не значиме й, отже, обидва методи забезпечують однакову точність вимірів.

4. З нормальної генеральної сукупності витягнута вибірка об'єму n = 21 і по ній знайдена виправлена вибіркова дисперсія   = 16,2. Потрібно, при рівні значущості 0,01, перевірити нульову гіпотезу H₀: σ² = σ²₀ = 15, прийнявши у якості конкуруючої гіпотезу H₁: σ²>15.

Відповідь:

Знайдемо значення  критерію

 Χ²_спост = 

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд σ² > 15, тому критична область — правостороння. З відповідної таблиці, за рівнем значущості 0,01 і числу степенів вільності k = n-1=21–1=20 знаходимо критичну точку Χ²_кр(0,01; 20) = 37,6.

Тому що Χ²_спост < Χ²_кр — немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральної дисперсії гіпотетичному значенню σ²₀= 15. Інакше кажучи, розходження між виправленою дисперсією (16,2) і гіпотетичною генеральною дисперсією (15) не значуще.

5. Точність роботи верстата-автомата перевіряється по дисперсії контрольованого розміру виробів, що не повинна перевищувати σ²₀ = 0,1. Узято пробу з випадково відібраних виробів, причому отримані наступні результати вимірів:

Контрольований розмір

проби виробів       x_i   3,0   3,5    3,8   4,4    4,5

частота                   n_i     2       6      9       7       1

Потрібно, на рівні значущості 0,05, перевірити, чи забезпечує верстат необхідну точність.

Відповідь:

Нульова гіпотеза H₀: σ² = σ²₀ = 0,1. Приймемо як конкуруючу гіпотезу H₁: σ₂ ≠ 0,1.

Знайдемо виправлену вибіркову дисперсію. Для спрощення розрахунку перейдемо до умовних варіантів. Взявши до уваги, що вибіркова середня приблизно дорівнює 3,9, покладемо u_i = 10x_i - 39. Розподіл частот приймає вид:

u_i   -9   -4    -1   5    6

n_i     2    6     9   7    1

Знайдемо допоміжну дисперсію умовних варіант

 = 

підставивши дані задачі, одержимо   = 19,91

Знайдемо шукану виправлену дисперсію

 = 

Знайдемо спостережуване значення критерію

Χ²_спост =   

Конкуруюча гіпотеза має вигляд σ² ≠ σ²₀, тому критична область – двостороння.

Знайдемо по таблиці критичні точки: ліву

та праву

Маємо Χ²_спост > Χ²_прав отже, нульову гіпотезу відкидаємо; верстат не забезпечує необхідну точність і вимагає підналагодження.

6. Партія виробів приймається, якщо дисперсія контрольованого розміру значуще не перевищує 0,2. Виправлена вибіркова дисперсія, знайдена за вибіркою об'ємом n=121, виявилася рівною   = 0,3. Чи можна прийняти партію при рівні значущості α=0,01?

Відповідь:

Нульова гіпотеза H₀: σ² = σ²₀ = 0,2. Конкуруюча гіпотеза H₁: σ₂ >0,2.

Знайдемо значення критерію, яке спостерігалося:

Χ²_спост = 

Конкуруюча гіпотеза має вигляд σ₂>0,2, отже, критична область правостороння. Оскільки в таблиці не міститься числа степенів вільності k=120, знайдемо критичну точку приблизно з рівності Уілсона – Гільферті (теоретично нами розглянута не була, приймемо її, як факт покладаючись на авторитет В.Є. Гмурмана):

Знайдемо попередньо (з огляду на, те що за умовою α=0,01) z_α = z_0,01 з рівності:

За таблицею функції Лапласа, використовуючи лінійну інтерполяцію, знаходимо: z_0,01 = 2,326. Підставивши k=120, z_α=2,326 у формулу Уілсона — Гільферті, одержимо Χ²_кр(0,01; 120) =158,85. (Це спостиження досить гарне: у більш повних таблицях наведене значення 158,95). Нульову гіпотезу відкидаємо. Партію прийняти не можна.

7. По двох незалежних вибірках, об'єм яких n=40 і m=50, витягнутих з нормальних генеральних сукупностей знайдені вибіркові середні  =130 і  =140. Генеральні дисперсії відомі: D(x) = 80, D(y)=100. Потрібно, на рівні значущості 0,01, перевірити нульову гіпотезу H₀: М(Х) = М(Y), при конкуруючій гіпотезі H₁: M (X) ≠ M(Y).

Відповідь:

Знайдемо вибіркове значення  критерію

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд М(Х ) ≠ М(Y), тому критична область - двостороння. Знайдемо праву критичну точку з рівності

За таблицею функції  Лапласа  знаходимо z_кр = 2,58

З того, що |z_спост| > z_кр, випливає, що нульову гіпотезу необхідно відкинути.

8. За двома незалежними малими вибірками, об'єми яких n =12 і m  =18, вилученими з нормальних генеральних сукупностей X і Y, знайдені вибіркові середні  =31,2,  = 29,2 і виправлені вибіркові дисперсії   = 0,84 та  = 0,40. Потрібно, на рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу H₀:М(Х)=М(Y) при конкуруючій гіпотезі H₁:M(X)≠M(Y).

Відповідь:

Виправлені дисперсії різні, тому перевіримо попередньо гіпотезу про рівність дисперсій, використовуючи критерій Фшера-Снедекора.

Знайдемо відношення більшої дисперсії до меншої:

Дисперсія   значно більше дисперсії  , тому в якості конкуруючої приймемо гіпотезу H₁: D (X) > D(Y). У цьому випадку критична область – двостороння. По таблиці за рівнем значущості α = 0,05 і числам степенів вільності k₁=n–1=12–1=11 і k₂=m–1=18–1=17 знаходимо критичну точку F_кр(0,05;11;17) =2,41.

З того, що F_спост<F_кр – немає підстав відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Припущення про рівність генеральних дисперсій виконується, тому порівняємо середні.

Обчислимо спостережуване значення  критерію  Стьюдента

Підставивши числові значення вхідних величин у цю формулу, одержимо T_спост =7,8.

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд M (X) ≠ M(Y), тому критична область — двостороння. За рівнем значущості 0,05 і числу степенів вільності k=n+m–2=12+18–2=28 знаходимо по таблиці критичну точку t_{двост.,кр}(0,05;28)=2,05.

З того, що T_спост>t_{двост,кр} – нульову гіпотезу про рівність середніх відкидаємо. Інакше кажучи, вибіркові середні розрізняються значимо.

9. Із двох партій виробів, виготовлених на двох однаково налаштованих верстатах, витягнуті малі вибірки, об'єми яких n=10 і m=12. Отримано наступні результати:

контрольований розмір

виробів першого верстата    x_i    3,4      3,5     3,7      3,9

частота (число виробів)        n_i     2          3        4         1

контрольований розмір

виробів другого верстата      y_i    3,2      3,4     3,6     

частота                                    m_i     2         2        8

Потрібно, при рівні значущості 0,02, перевірити гіпотезу H₀: М(Х)=М(Y), про рівність середніх розмірів виробів при конкуруючій гіпотезі H₁: М(Х)≠М(Y).

Передбачається, що випадкові величини X і Y розподілені нормально.

Відповідь:

За формулами

 та 

знайдемо вибіркові середні:   = 3,6,   = 3,5.

Для спрощення обчислень виправлених дисперсій перейдемо до умовних варіант: u_i = 10x_i – 36, v_i = 10y_i – 35.

За формулами

S_u² =   та S_v² = 

Знайдемо  S²_x = 2,67 і S²_v = 2,54. Отже,

Таким чином, виправлені дисперсії різні; розглянутий у цьому параграфі критерій припускає, що генеральні дисперсії однакові, тому треба зрівняти дисперсії, використовуючи критерій Фішера-Снедекора. Зробимо це, прийнявши у якості конкуруючої гіпотези H₁: D (X) ≠ D(Y).

Знайдемо спостережуване значення критерію

По таблиці знаходимо , F_кр (0,01; 9; 11) = 4,63. Тому що F_спост < F_кр — дисперсії розрізняються не значиме а, отже, можна вважати, що припущення стосовно рівності генеральних дисперсій має місце.

Порівняємо середні, для чого обчислимо спостережуване значення критерію Стьюдента;

Підставивши у цю формулу числові значення, одержимо T_спост = 0,72.

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд М(Х) ≠ М(Y), тому критична область – двостороння. За рівнем значущості 0,02 і числу степенів вільності k=n+m–2=10+12–2=20 знаходимо по таблицікритичну точку t_{двост.,кр}(0,02;20)=2,53.

З того, що T_спост  < t_{двост. кр} – робимо висновок про те, що немає підстав відкинути гіпотезу про рівність середніх. Таким чином, середні розміри виробів істотно не розрізняються.

10. З нормальної генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням σ = 5,2 витягнута вибірка об'єму n = 100 і по ній знайдена вибіркова середня  =27,56. Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу H₀:a = а₀ = 26 при конкуруючій гіпотезі H₁: а≠26.

Відповідь:

Знайдемо  спостережуване  значення критерію

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд а≠26 тому критична область – двостороння.

Знайдемо критичну точку з рівності

По таблиці функції Лапласа знаходимо U_кр = 1,96.

Тому що U_спост > u_кр— нульову гіпотезу відкидаємо. Інакше кажучи, вибіркова та гіпотетична генеральна середні розрізняються значимо.

11. За вибіркою об'ємом n=16, витягнутої з нормальної генеральної сукупності, знайдені вибіркова середня  =118,2 та виправлене середнє квадратичне відхилення  =3,6. Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу Н₀: а = а₀ = 120 при конкуруючій гіпотезі H₁: а ≠ 120.

Відповідь:

Знайдемо  спостережуване  значення критерію

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд а ≠ a₀, тому критична область – двостороння.

По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α = 0,05, і по числу степенів вільності k=n–1=16–1=15 знаходимо критичну точку t_{двост,кр}(0,05; 15) = 2,13.

Тому що |T_спост|<t_{двост. кр} – немає підстав відкинути нульову гіпотезу. Інакше кажучи, вибіркова середня  =118,2 не значимо відрізняється від гіпотетичної генеральної середньої a₀ = 120.

12. Проектний контрольований розмір виробів, що виготовляють верстатом-автоматом, а = а₀ = 35 мм. Виміри 20 випадково відібраних виробів дали наступні результати:

контрольований розмір           х_i     34,8     34,9     35,0      35,1        35,3

частота (кількість виробів)     n_i       2          3          4           6             5

Потрібно, при рівні значущості 0,05, перевірити нульову гіпотезу Н₀:а = а₀ = 35 при конкуруючій гіпотезі Н₁: а ≠ 35.

Відповідь:

Знайдемо середній розмір виробів вибірки:

Знайдемо виправлену дисперсію. Для спрощення розрахунку перейдемо до умовних варіантів u_i = 10x_i – 351. У підсумку одержимо наступний розподіл

 u_i       -3         -2        -1        0         2

 n_i       2          3         4         6        5

Знайдемо виправлену дисперсію умовних варіант

S_u² =   = 

Отже, виправлена дисперсія початкових варіант

Звідси виправлене середнє квадратичне відхилення

s_x = 

Знайдемо спостережуване значення критерію

За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд a ≠ a₀ тому критична область -двостороння. По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α=0,05, та по числу степенів вільності k=n–1=20–1=19 знаходимо критичну точку:

t_{двост,кр}(0,05; 19) = 2,09.

Тому що T_спост > t_{двост. кр} – нульову гіпотезу відкидаємо. Інакше кажучи, верстат не забезпечує проектного розміру виробів і вимагає налагодження.