Управление и оптимизация / Novikov - Teoriya upravleniya organizatsionnimi sistemami 2005

Проанализировав выражение (4), получаем, что для построения механизма обмена, максимизирующего ожидаемую прибыль центра, необходимо решить следующую задачу:

	r1max					x (r)2		r	x (τ )2		x2
1	ò		0			2		ò	2	2
Ef0 (Щ) =		[r		x2	(r) −		−				dτ ]dr → max
	r1min					2r		r1min	2τ

0 ≤ x2(r) ≤ Y2, 0 ≤ x1(r) ≤ Y1.

Не останавливаясь подробно на процессе решения, рассмотренном в [31], приведем вид получаемого механизма обмена:

	r0 (r)	2		4(r)3 − (r1		)3
x (r) =			, r Ω′ , x (r) = (r0 )2	6(r1	min	, r Ω′ ,
	r1max
2		1			)2
				max

		r					1	~	1	] ,
			Ω′ = [r min , r
~	1	1		0		−1 1/ 2		3 2			1 3 1/ 3		0		−2 / 3
r	= min {r max ,(r maxY2		(r		)	)	, (	2 rmaxY1 +			4 rmin )	(r		)		}.

Здесь под ~r подразумевается максимальный тип агента, для которого предлагается отдельный план обмена. Данный тип определяется исходя из бюджетного ограничения центра или ограничения на максимальный объем работы. Если сообщаемый тип агента лучше, чем ~r , то ему предлагается план обмена для типа ~r .

На рисунке 3.1 приводится графическое изображение полученного механизма обмена. Видно, что с улучшением типа, сообщаемого агентом, уменьшается удельная стоимость выполняемой им работы (отношение выплачиваемого центром вознаграждения к объему выполняемой работы). При этом проиллюстрировано, каким образом тип ~r определяется из ограничений на ресурсы (в данном случае из бюджетного ограничения центра).

210

x1		~				π (r1max )
Y1				π (r )
		3
		x1 ≈ (x2 )
			2
		π (r1min )
2					r	1	x2
		r1min / r1max				max

Рис. 3.1. Неманипулируемый механизм обмена для задачи стимулирования

Задача ценообразования (планирования). Анало-

гичным задаче стимулирования образом можно рассмотреть задачу ценообразования. В роли центра выступает продавец товара. Его целевая функция от обмена:

f1 (x1, x2 ) = x1 − x22 .

2r1

Соответственно, целевая функция покупателя, выступающего в роли агента, имеет следующий вид:

f0 (x1, x2 ) = r x2 − x1 .

Продавец обладает произвольно делимым товаром в количестве Y2. Покупатель обладает деньгами в количестве Y1.

Задача продавца – поиск механизма обмена, максимизирующего его ожидаемую полезность от обмена с покупателем:

Ef1 (π (s)) → max ,

π ( s )

при условии, что ему не известно значение типа покупателя, а известно лишь, что тип агента равномерно распределен на множестве Ω0 = [r0min, r0max].

211

Как и в задаче стимулирования, проблема сводится к поиску неманипулируемого механизма обмена π (s) = (x1(s), x2(s)), то есть механизма открытого управления. Для этого необходимо и достаточно, чтобы механизм обмена удовлетворял следующим требованиям [31]:

r	dx2		(r) − dx1 (r) = 0 ,						(5)
	dr
				dx2		dr
		−				(r) ≤ 0 ,			(6)
				dr
"s ÎΩ 0			dx1		(s) ³ 0,		dx2	(s) ³ 0 .	(7)
							ds
			ds

При выполнении условий (5)–(7) прибыль агента от обмена (его функция полезности ν0 (r) = f0 (x1(r), x2 (r), r) ) может быть записана в следующем виде:

ν0 (r) = òr	x2 (τ ) dτ .	(8)
r 0min

Задача построения механизма обмена, максимизирующего ожидаемую прибыль центра, сводится к решению следующей задачи:

Ef (Ω 0 ) =	r 0max	[rx (r) -	x (r)2		r	x (τ ) dτ ]dr ®max
			2		-
1	ò	2	2r	1	ò	2	x2
	r 0min				r 0min

0 ≤ x2(r) ≤ Y2, 0 ≤ x1(r) ≤ Y1.

Не останавливаясь подробно на процессе решения, рассмотренном в [31], приведем вид получаемого меха-

низма обмена в предположении, что выполнены условия x2(r0max) £ Y2 и x1(r0max) £ Y1:

x2 (r) = r1(2r - rmax ) , "r ÎΩ′ = [r€, r0max ], x2 (r) = 0 ,

"r ÎΩ 0 / Ω′;

x1(r0 ) = r1(r2 - (r0max - r€)r€), "r ÎΩ′ = [r€, r0max ], x1(r0 ) = 0 ,

212

r Ω 0 / Ω′ ; r€= max[r0min , r0max / 2].

Здесь под ~r подразумевается наихудший тип покупателя, для которого предлагается отдельный план обмена. Если сообщаемый тип покупателя хуже, чем ~r , то ему предлагается «нулевой» план обмена, то есть обмен не производится.

По аналогии с механизмом обмена для задачи стимулирования при невыполнении условий x2(r0max) ≤ Y2 и x1(r0max) ≤ Y1 определяется значение ~r – как максимальный тип покупателя, с которым может обмениваться продавец в рамках существующих ресурсных ограничений.

На рисунке 3.2 приводится графическое изображение полученного механизма обмена для задачи ценообразования. Из графика видно, что с улучшением типа, сообщаемого покупателем, уменьшается удельная стоимость предлагаемого ему товара: можно сказать, что с ростом партии товара увеличивается оптовая скидка.

x1

π (r 0 max )

π ~ (r )

Y1

x1 ≈ (x2 )2

€	r	0	x2
π (r)		max

Рис. 3.2. Неманипулируемый механизм обмена для задачи ценообразования

213

В завершение настоящего раздела следует сказать, что при решении задач, подобных рассмотренным выше, возможен отказ от такого достаточно сложного с практической точки зрения параметра, как тип агента. Центр не спрашивает у агента его тип, а предлагает просто выбрать один из вариантов обмена. Иными словами, в задаче стимулирования или ценообразования центр предлагает агенту выбрать один из вариантов обмена из меню (контракта), описываемого кривой, изображенной на рисунках 3.1 и 3.2.

214

Глава 4

МЕХАНИЗМЫ ОРГАНИЗАЦИИ

Настоящая глава содержит описание механизмов организации. Значительное внимание уделяется механизмам финансового управления: механизмам смешанного финансирования (раздел 4.1), противозатратным механизмам (раздел 4.2), механизмам «затраты – эффект» (раздел 4.3), механизмам самоокупаемости (раздел 4.4) и механизмам страхования (раздел 4.5). Кроме того, рассматриваются такие важные классы механизмов, как: механизмы агрегирования оптимизации производственного цикла (раздел 4.6) и механизмы поиска оптимальных распределений ответственности (раздел 4.7).

4.1. Механизмы смешанного финансирования51

Крупные проекты, как правило, редко финансируются из одного источника. Инициаторы проекта стараются привлечь средства федерального и регионального бюджетов, различные фонды, средства частных фирм и т. д. Задача финансирования в этом случае относится к классу задач распределения ресурса (затрат), описанных в разделе 3.2.

Рассмотрим механизмы смешанного финансирования проектов, к реализации которых желательно привлечь средства частных фирм. Однако проекты могут быть эко-

51 Раздел написан совместно с В. Н. Бурковым.

215

номически невыгодны для фирм, поскольку отдача от них (эффект на единицу вложенных средств) меньше единицы.

Бюджет, как правило, ограничен и зачастую недостаточен для реализации необходимого числа проектов. Однако фирмы не прочь получить бюджетные деньги или льготный кредит. Идея смешанного финансирования состоит в том, что бюджетные средства или льготный кредит выдаются при условии, что фирма обязуется выделить на проект и собственное финансирование. Как правило, на практике фиксируется доля средств, которую должна обеспечить фирма (например, 20 % средств выделяется из бюджета, а 80 % – составляют собственные средства фирмы). Однако такая жесткая фиксация доли бюджетных средств имеет свои минусы. Если эта доля мала, то будет незначительным и объем частных средств, а если велика, то, во-первых, желающих вложить собственные средства будет слишком много и придется проводить дополнительный отбор (например, на основе конкурсных механизмов), а во-вторых, уменьшается эффективность использования бюджетных средств. Ниже рассматривается механизм смешанного финансирования с гибко настраиваемой величиной доли бюджетного финансирования.

Дадим формальную постановку задачи разработки механизма смешанного финансирования. Имеются n фирм – например, потенциальных инвесторов в программу социального развития региона. Имеется также централизованный фонд финансирования программ развития. Фирма i предлагает для включения в программу социального развития проект, требующий суммарного финансирования Si, i N = {1, 2, …, n}. Этот проект проходит экспертизу, в результате которой определяется его социальная ценность fi (Si), i N. Помимо социальной ценности предлагаемый фирмой проект имеет экономическую ценность ϕi (Si) для фирмы. На основе заявок фирм центр (на-

216

пример, руководство региона) определяет объемы финансирования проектов фирм {xi} (как правило, xi ≤ Si) исходя из ограниченного объема бюджетных средств R. Процеду-

ра {xi = πi (S), i N}, где S = (S1, S2, …, Sn) – вектор заявок фирм, называется механизмом смешанного финансирова-

ния. Дело в том, что недостающие средства yi = Si – xi фирма обязуется обеспечить за свой счет. Таким образом, интересы фирмы описываются выражением:

ϕi (Si) – yi, (1)

где ϕi (Si) – доход фирмы (если фирма берет кредит yi в банке, то учитывается процент за кредит).

Задача центра заключается в том, чтобы разработать такой механизм π (S), который обеспечит максимальный

социальный эффект: Ф = ån fi (Si ), где S* = {Si*} – равно-

i=1

весные стратегии фирм (точка Нэша соответствующей игры).

Рассмотрим линейный	случай,			когда ϕi (Si) = ai Si,
fi (Si) = bi Si, 0 < ai < 1, bi > 0,	i =		.	Содержательно ai–
		1, n

отдача от i-го проекта на единицу вложенных средств. Так как проекты считаются нерентабельными, то ai < 1, i N. Проведем анализ механизма прямых приоритетов

	xi (S) =	liSi	R, i N ,	(2)
		ålj S j

j N

где li – приоритет i-й фирмы.

Примем без ограничения общности, что R = 1. Заметим, что в данном случае может иметь место xi (S) > Si (фирма получает средств больше, чем заявляет). Будем считать, что в этом случае разность xi (S) – Si остается у фирмы.

217

Определим ситуацию равновесия Нэша. Для этого подставим (2) в (1) и определим максимум по Si выражения

æ

l S

i

ö

l S

i

a

S

i

- çS

i

-

i

÷ =

i

- (1- a

)S

,

i

ç

÷

L(S)

i

i

è

L(S) ø

где L(S) = ålj S j .

j N

После несложных вычислений получим:

l S

i

= L(S)[1- q L(S)], где q =

1− ai

.

i

i

i

li

Из условия åli Si

= L(S) определяем

i N

L(S ) =

(n -1)

, Si

=

(n -1)

é

-

(n -1)q ù

l Q

ê1

i

ú

,

(3)

Q

Q

i

ë

û

где Q = åqi . При этом должно, очевидно,

выполняться

i N

условие Si* ³ 0 или

qi

<

1

, i =

.

(4)

1, n

n -1

Q

Если это условие нарушается, то соответствующие фирмы выбывают из состава претендентов. С новыми значениями Q и n вычисления следует повторить. Если при этом появляются новые фирмы, для которых нарушается (4), то эти фирмы также выбывают, и т. д. За конечное число шагов будет получена ситуация равновесия, такая, что для всех фирм выполняется (4). Пусть фирмы упорядочены по возрастанию qi, то есть q1 £ q2 £ ... £ qn. Для определения числа фирм – претендентов на участие в социаль-

	ных программах развития региона –					необходимо найти
		Qk				k
	максимальное k, такое, что qi <				, где Qk = åqj , i =		1, k	.
		k -	1
						j =1

218

Рассмотрим пример, для которого значения ai, li и qi приведены в таблице 4.1.

		Параметры модели				Таблица 4.1
	1	2	3	4	5		6
ai	0,9	0,6	0,1	0,12	0,75		0,1
li	1	2	3	2,2	0,5		1,5
qi	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5		0,6

Нетрудно определить, что максимальное k = 2. Действительно:

q1 + q2 = 0,3 > q2 = 0,2 , 1

в то же время

q1 + q22 + q3 = 0,3 = q3 = 0,3 .

Таким образом, претендентами на участие в программе по схеме смешанного финансирования являются первые две фирмы. Если bi = li для всех i, то суммарный

	эффект		от программы		составляет	(с учетом		R = 1)
	L(S ) =		(n −1) = 3 1 , а		суммарное	финансирование:
			Q	3
		7	3				7
	S = 2		. Итак,	финансирование программы в 2				раза
							9
	9

превышает бюджетные средства. Заявки фирм в равнове-

сии: S1 = 2 92 , S2 = 95 .

В рассмотренном примере мы взяли li = bi, i N. Поставим задачу определить механизм прямых приоритетов (см. раздел 3.2), обеспечивающий максимум социального эффекта. Необходимо определить приоритеты {li}i N таким образом, чтобы суммарный эффект был максимальным.

219