- •Вопрос 42: Фундаментальные взаимодействия: электромагнитное, сильное, слабое и гравитационное.
- •Вопрос 41: Элементарные частицы. Частицы и античастицы. Кварки.
- •Вопрос 40: Закон радиоактивного распада.
- •Вопрос 39: Строение ядра. Радиоактивность.
- •Вопрос 38: Формирование молекул.
- •Вопрос 37: Принцип Паули.
- •Вопрос 36: Квантовая модель атома водорода.
- •Вопрос 35: Боровская модель водорода
- •Вопрос 34: Квантовый осциллятор
- •Вопрос 33: Квантование энергии.
- •Вопрос 32: Движение частиц в потенциальной яме (через потенциальный барьер).
- •Вопрос 30: Волновая функция.
- •Вопрос 31: Уравнение Шредингера.
- •Вопрос 29: Принцип неопределенности Гейзенберга.
- •Вопрос 28: Волны Де Бройля.
- •Вопрос 27: Эффект Комптона.
- •Вопрос 26: Фотоэффект.
- •Вопрос 25: Рентгеновское излучение.
- •Вопрос 24: Пироэлектрические приборы для измерения температуры тела.
- •Вопрос 23: Формула Планка.
- •Вопрос 22: Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина (закон смещения).
- •Вопрос 21: Закон Кирхгофа.
- •Вопрос 19: Двойное лучепреломление
- •Вопрос 18: Поляризация света при отражении и преломлении вторичных волн. Принцип Гюйгенса.
- •Вопрос 17: Поляризация света.
- •Вопрос 13: Дисперсия света.
- •Вопрос 12: Голография.
- •Вопрос 8: Дифракция Френеля на разных объектах.
- •Вопрос 7: Дифракция света на отверстии Фраунгофера (в параллельных лучах).
- •Вопрос 6: Дифракция света.
- •Вопрос 5: Интерферометры.
- •Вопрос 4: Интерференция от двух источников.
- •Вопрос 3: Интерференция света.
- •Вопрос 2: Монохроматичность и когерентность.
- •Вопрос 1: Электромагнитные волны
Вопрос 32: Движение частиц в потенциальной яме (через потенциальный барьер).
Одномерная прямоугольная «потенциальная яма» с бесконечно высокими «стенками» описывается потенциальной энергией вида
где l – ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 63).
Пси-функция частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение Шредингера имеет вид (105)
Частица за пределы «ямы» не проникает, т. е. в областях х<0 и х>1 ψ(х) = 0, а из условия непрерывности следует, что и на границах «ямы» . (106)
В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ l) уравнение Шредингера (105) сведется к уравнению или , (107)
где (108). Общее решение уравнения (106): ψ(x)=Asinkx + Bcoskx.
Так как, по (106), , то В=0. Тогда ψ(x)=Asinkx. (109)
Условию ψ(l) = Asinkl = 0 удовлетворяет равенство
k = πп/l (n = 1, 2, 3, ...) (110)
[значение n = 0 приводит к тривиальному результату ψ(х) = 0, а отрицательные значения п – к тем же функциям, но с отрицательным знаком, что не дает новых физических решений].
Из выражений (108) и (110) получим, что собственные значения энергии частицы (n = 1, 2, 3, ...), (111)
т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные значения Еn называют уровнями энергии, а число п, их определяющее, – квантовым числом.
Собственные функции задачи получаются подстановкой (110) в (109): ,
а коэффициент А находится из условия нормировки
,
откуда . Тогда нормированные собственные функции
(n = 1, 2, 3, ...). (112)
Из формулы (111) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия ,
соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния .
Наличие отличной от нуля минимальной энергии противоречит классической механике и не противоречит соотношению неопределенностей. В самом деле, частица «зажата» в области, на границах которой , поэтому ее положение известно с неопределенностью . Тогда, согласно соотношению неопределенностей [см. (74)], неопределенность импульса . Таким образом, энергия никогда не может быть равна нулю, поскольку это потребовало бы выполнения условия . Состояние с энергией Е1 называют основным состоянием, а остальные состояния – возбужденными. Энергии возбужденных состояний равны 4Е1, 9Е1, 16Е1,..., соответственно значениям квантового числа n = 2, 3, 4…
Вопрос 30: Волновая функция.
Однако в общем случае состояние частицы в квантовой механике задается более сложной, вообще говоря комплексной, функцией ψ(r,t), зависящей от координат и времени. Эту функцию называют волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля.
Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t, согласно статистической интерпретации ψ - функции,
.
Величина имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства. Плотность вероятности – величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна. В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы). Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V, согласно теореме сложения вероятностей
(76)
Проинтегрировав выражение (76) в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Поэтому принимают, что
(77)
Условие (77) называют условием нормировки, а функцию ψ – нормированной волновой функцией. Так как волновая функция – объективная характеристика состояния микрочастиц, то она должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). В квантовой механике для волновых функций выполняется принцип суперпозиции состояний: если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ1, ψ 2, …, ψ n, то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций: ,
где Сn (n = 1, 2, ...) – произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента Сn т. е. \ Сn\2, равен вероятности обнаружить, что система, представленная состоянием ψ, может оказаться в состоянии ψn.