- •Часть . Случайные события. Вероятность.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Часть . Случайные величины
- •.1. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •.3. Случайные величины с непрерывным распределением
- •.4. Числовые характеристики случайных величин
- •.5. Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Решение.
- •Решение.
- •Задача .4. Дана плотность распределения случайной величины :
- •.2. Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •.3. Числовые характеристики группированной выборки
- •.4. Доверительные интервалы
- •.5. Статистическая проверка гипотез. Критерий Пирсона
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Библиографический список
- •Содержание
.5. Биномиальный закон распределения случайной величины
Случайная величина дискретного типа называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения , а вероятность того, что определяется формулой Бернулли
, ( .15)
где .
Биномиальное распределение реализуется, когда случайная величина выражает число появлений некоторого события при независимых испытаниях с двумя исходами: . Вероятность появления события постоянна и равна .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равны соответственно
. ( .16)
.6. Нормальный закон распределения случайной величины
Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами , коротко: если плотность распределения вероятности имеет вид:
( .17)
Математическое ожидание и дисперсия совпадают с параметрами нормального закона распределения: – среднее квадратичное отклонение.
Функция распределения случайной величины :
( .18)
или
где – интегральная функция Лапласа.
Используем связь функции со стандартной функцией Лапласа : .
Функция распределения примет вид: .
Для вероятностей попадания в заданный интервал получим выражения:
; ( .19)
( .20)
( .21)
Для вероятности попадания в симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:
( .22)
.7. Примеры расчета
Задача .1. Случайная величина задана таблицей распределения. Найти вероятность , интегральную функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию , среднее квадратичное отклонение и вероятность события: . Построить график функции распределения .
Таблица 2
-
0
1
2
4
0,14
0,46
0,28
Решение.
Так как +0,14+0,46+0,28=1, то =1- 0,14- 0,46- 0,28=0,12.
Функцию распределения дискретной случайной величины найдем по формуле ( .3):
График функции распределения случайной величины представлен на рис.5.
Вероятность попадания в интервал находим по формуле ( .2):
Математическое ожидание, дисперсию дискретной случайной величины находим по формулам (2.8) и (2.9):
Среднее квадратичное отклонение
Ответ: рис.5;
Задача .2. В коробке 10 деталей, из них 3 нестандартных. Для проверки наудачу извлечены 3 детали. Найти ряд распределения случайной величины – число нестандартных деталей в контрольной партии, функцию распределения случайной величины вероятность события .