11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.

Якщо ф-ція визначена на деякому проміжку і неперервна в т. цього проміжку, то або , що з . Припустимо, що ф-ція непер. на всьому проміжку , тобто непер. в кожній т. цього проміжку. Тоді для кожної т. по заданому . При зміні в межах , навіть якщо незмінюється, число буде мінятися. Тому постає питання : чи можна вибрати одне , при заданому , яке б задовольняло усі .

рівномірно непер. в обл. , якщо вона непер. в кожній точці обл. і та , що . Отже, рівном. непер., це така непер., що для всіх точок можна вибрати одне .

Т. Кантора. Якщо визначена і непер. в замкнутому проміжку , то вона рівном. непер. на цьому пром.

Довед.(від супрот.) Припустимо, що не рівном. непер. Тоді, яке б число не взяли, на проміжку такі два значення і , що і . Візьмемо послід. додатніх чисел так, щоб . Тоді для кожного в значення і такі, що і . За лемою Больцано-Вейерштраса з обмеж. послід. можна виділити підпослід збіжну до деякої т. пром. . Тоді і сама послід. збігається до . Оскільки , то одночасно і послід. збіг. до . Тоді в силу непер. ф-ції в т. повинно бути і так що а це суперечить тому, що при всіх значеннях .

Наслідок. Нехай ф-ція визначена і непер. у замкнутому пром. . Тоді , що якщо пром. довільно розбити на частинки з довжинами меншими , то в кожному з них коливання ф-ції буде менше .

12. Похідна функції.Похідна композиції функцій, оберненої функції. Таблиця похідних. Похідна функції, заданої параметрично.

Похідною даної функції наз. границя відношення приросту ф-ії до приросту незалежної змінної при довільному прямуванні цього приросту до нуля:

(x)=

П-д. Нехай y=x. Тоді

Теорема. Значення похідної (x) дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ох дотичної до графіка ф-ії y=f(x) у точці з абсцисою х.

Т.1. Похідна суми означеного скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних доданків.

Т.2. Похідна добутку двох ф-ій дорівнює сумі добутків першої ф-ії на похідну другої і другої ф-ії на похідну першої.

Т.3. Похідна частки двох ф-ій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник- різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутком діленого на похідну дільника.

Тобто, якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка(V(x) 0) 1)

Похідна складної ф-ії дорівнює добутку похідних від ф-ій, які її складають.

Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція

Теорема.1(?один варіант?)Якщо y= -неперервна ф-ія, яка обернена неперервній і має похідну ф-ії y=f(x) , то похідна існує і значення її обернене за величиною значенню при .

Теорема1(?другий варіант?). Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці-у також має похідну, яка записується: або Доведення:1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст ,

3) ,

4)

Отже

Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію: .

Теорема2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ція має похідну у відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну

Доведення. Поскільки існує , то існує границя при . Поділимо обидві частини на і перейдемо до границі: Якщо , то Отже, тобто .

Похідна ф-ції, заданої параметрично.

Теорема3. Якщо ф-ції і мають похідні , причому , тоді існує похідна , рівна частці похідних. Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то

Основна таблиця похідних: