23

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Визначений інтеграл

Методичні вказівки

для виконання практичних робіт

з дисципліни “Вища математика”

для студентів за спеціальностями

7.092602 “Гідромеліорація“ та

7.092102 “Промислове та цивільне будівництво“

Херсон – 2007

УДК 512(07); 514(07); 517(07)

Дійсні методичні вказівки містять короткі теоретичні відомості про означений інтеграл, а також зразки рішення прикладів. Матеріал подано відповідно до учбового плану для будівельно-гідромеліоративного факультету з діючою програмою курсу “Вищої математики” відповідно до модуля № 5.

Методичні вказівки призначені для самостійного вивчення теми “Означений інтеграл” студентами за спеціальностями 7.092602 “Гідромеліорація“ та 7.092102 “Промислове та цивільне будівництво“.

.

Методичні вказівки до проведення практичних занять з дисципліни

Вища математика

Рецензент доктор технічних наук, професор Марасанов В.В.

Затверджено на засіданні кафедри

Вищої математики

Зав. кафедри Савченко О.Г.

Схвалено методичною радою факультету БГМФ протокол № від

Склали методичні вказівки :

к.с.-г.н., доцент кафедри вищої математики Степаненко Н.В.

асистент кафедри вищої математики Григоренко В.В.

ЗМІСТ

§1. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца 5

§2. Заміна змінної в визначеному інтегралі 6

§3. Метод інтегрування частинами 7

§4. Обчислення площ плоских фігур 8

§ 5. Площа в полярних координатах 11

§ 6. Об’єми тіл обертання 13

§7. Довжина дуги кривої 14

§8. Площа поверхні обертання 15

§9. Застосування визначеного інтеграла для розв’язування фізичних задач 16

§10. Невласний інтеграл 18

Завдання для домашньої роботи: 20

§1. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо функція F неперервна на відрізку [a,b] і для неї існує первісна , то визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона – Лейбніца:

Приклади: Обчислити визначені інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування.

Обчислити інтеграли:

1. 2. 3. 4. 5.

§2. Заміна змінної в визначеному інтегралі

Якщо функція y = f(x) неперервна на відрізку [a;b] і x =φ(t), однозначна та неперервна разом із своєю похідною φ(t) на відрізку [;], де a = φ, b = φ(), то справедлива формула заміни змінної у визначеному інтегралі :

Приклади: Обчислити визначені інтеграли, використовуючи заміну змінної.

Обчислити інтеграли:

§3. Метод інтегрування частинами

Якщо U = U(x) і V = V(x) неперервні функції на відрізку[a;b] і вони мають неперервні похідні на цьому відрізку, то має місце формула:

Приклади: Обчислити визначені інтеграли, використовуючи метод інтегрування частинами:

Обчислити інтеграли:

§4. Обчислення площ плоских фігур

Якщо криволінійна трапеція обмежена віссю Ох, прямими х = а, x = b (a > b) і неперервною кривою y = f(x), тоді:

а). Якщо на [ a;b], то

б). Якщо на [a;b], то

Якщо плоска фігура обмежена неперервними на [ a;b] кривими y = f₁(x) та y = f₂(x), де і прямими x = a, x = b, то

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y² = 9x, y = 3x.

1. Зробимо малюнок:

y = 3x – пряма лінія

y² = 9x - парабола.

2. Знаходимо границі інтегрування:

y = 3x 3x = 3

y = 3

3. Знаходимо площу фігури:

Обчислити площу фігури, обмеженої вказаними лініями: