Индивидуальные задания

Задача 1. Составить двойственные задачи к следующим прямым задачам и найти решение обеих задач.

1. F = 2x₁ + 7x₂

3. F = 14x₁ + 8x₂

5. F = 3x₁ + 9x₂

7. F = x₁ + 2x₂

9. F = 7x₁ + 3x₂

2. F = 15x₁ + 6x₂

4. F = 4x₁ + 5x₂

6. F = 30x₁ + 10x₂

8. F = 5x₁ + 12x₂

10. F = 3x₁ + 2x₂

Задача 2. Найти решение следующих задач, используя теорему равновесия.

Указать оптимальные решения прямой и двойственной задач и значения целевых функций.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задача 3. На трех оптовых базах А₁, А₂, А₃ находится однородный груз в количестве тонн. Этот груз необходимо развести четырем потребителям B₁, B₂, B₃, B₄, потребности которых в данном грузе составляют тонны соответственно. Стоимости перевозки единицы продукции из А_i в B_j составляют , где Данные вариантов задачи представлены в табл. 27.

Требуется:

1. Определить допустимый опорный план любым из методов:

методом северо-западного угла,

методом минимального элемента,

методом Фогеля.

2. Методом потенциалов найти план перевозок груза, при котором минимизируются суммарные затраты.

3. Вычислить суммарные затраты, соответствующие оптимальному плану.

4. Определить базы, на которых остается нераспределенная продукция, и указать её объем.

Таблица 27

Параметр задачи	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a1 a2 a3	400 300 500	750 200 550	250 550 350	300 700 400	450 200 350	350 750 300	250 650 300	200 500 300	500 900 100	500 200 600
b1 b2 b3 b4	350 250 150 250	450 300 350 250	300 150 400 150	250 450 150 350	150 300 50 400	200 50 600 400	350 50 150 450	150 450 50 250	200 650 150 300	250 150 350 250
c11 c12 c13 c14	2 6 4 7	1 6 5 3	2 6 3 5	3 7 6 4	6 4 8 3	4 5 8 6	5 10 4 6	3 4 8 2	7 7 8 4	4 8 3 7
c21 c22 c23 c24	6 2 7 1	4 3 5 7	8 7 10 5	7 5 4 9	5 1 4 4	4 7 1 2	7 8 10 9	4 1 4 5	6 1 2 7	5 1 6 4
c31 c32 c33 c34	6 10 7 5	5 8 10 4	2 7 5 3	3 6 5 1	7 11 9 6	2 6 4 7	1 5 4 2	9 10 6 5	4 7 5 6	4 6 5 3

Задача 4. Задача об оптимальном назначении (проблема выбора).

На каждом из четырех филиалов производственного объединения могут изготовляться изделия четырех видов. Учитывая необходимость углубления специализации, в каждом из филиалов решено выпускать только один вид продукции, при этом каждый из видов изделий должен выпускаться одним из филиалов. Себестоимость каждого изделия в каждом из филиалов различна и задается матрицей C.

Требуется:

Найти распределение выпуска продукции между филиалами, чтобы общая себестоимость была минимальной.

1. C = ; 2. C = ; 3. C = ;

4. C = ; 5. C = ; 6. C = ;

7. C = ; 8. C = ; 9. C = ; 10. C = .

Задача 5. Для изготовления 4-х видов продукции (П₁, П₂, П₃, П₄) предприятие использует три типа ресурсов Р₁, Р₂, Р₃. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂, b₃. Расход ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3) на единицу продукции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4) составляет единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна денежных единиц.

Все необходимые числовые данные приведены в табл. 28.

Требуется:

1. Симплексным методом найти план выпуска продукции с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход.

2. Дать экономический смысл всех переменных начальной и конечной таблиц, участвующих в решении задачи симплекс-методом.

3. Для данной задачи сформулировать двойственную задачу и составить ее математическую модель.

4. Используя решение исходной задачи, найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется.

6. Найти интервал устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого типа.

7. Выявить изменения общей стоимости изготовления продукции, определяемой оптимальным планом ее производства, при изменении количества i - го ресурса на Db_i.

8. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах. Построить новый оптимальный план при одновременном изменении всех ресурсов.

9. Установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию П₅, на единицу которой ресурсы расходуются в количествах a₁₅, a₂₅, a₃₅ единиц, а цена единицы готовой продукции составляет c₅.

10. Проверить свои расчеты, решив эту же задачу с использованием EXCEL.

11. Провести анализ устойчивости решения с помощью EXCEL.

Таблица 28

Пара- метр задачи	Варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
c1 c2 c3 c4	90 60 40 70	80 30 20 10	300 350 600 650	200 250 500 400	40 30 60 70	70 40 60 90	60 70 120 130	25 10 20 40	50 100 150 400	200 250 125 100
b1 b2 b3	1800 2100 8000	3000 700 3400	1280 2200 8000	10000 2600 3700	2800 800 2500	8000 2100 1800	1600 1100 1000	12000 6000 15000	17000 350 15000	7400 5200 20000
a11 a12 a13 a14	1 0 2 1	2 1 1 3	4 4 4 4	25 25 20 15	4 2 2 2	1 2 0 1	20 10 10 10	20 10 5 40	3 1 1 2	15 20 25 25
a21 a22 a23 a24	0 1 3 2	1 0 2 1	6 5 4 3	4 10 4 6	2 0 2 2	2 3 1 0	6 5 4 33	10 50 30 0	1 2 0 1	6 4 10 4
a31 a32 a33 a34	4 2 0 4	1 2 1 8	16 24 40 52	8 7 4 10	2 4 2 0	4 0 2 4	4 6 10 13	30 0 60 10	0 1 2 1	10 4 7 8
D b1 D b2 D b3	-800 100 200	-300 100 -200	300 -100 800	-300 -600 200	-800 100 200	200 100 -800	-200 100 300	-400 200 -300	100 -350 -200	-740 -2500 -400
c5	75	40	500	300	65	75	100	30	120	300
a15 a25 a35	1 2 5	2 1 3	5 6 20	20 7 8	2 1 4	5 2 1	20 3 5	25 10 15	2 2 1	20 5 10

Для решения задачи исходные данные своего варианта записать в виде следующей табл. 29.

Таблица 29

Ресурсы	Продукция				Объем ресурса	Приращение ресурса	Новая продукция П5
	П1	П2	П3	П4
Р1
Р2
Р3
Цена реализации

Задача 6. Найти решение матричных игр:

1. a) ; б) ; с) .

2. a) ; б) ; с) .

3. a) ; б) ; с) .

4. a) ; б) ; с) .

5. a) ; б) ; с) .

6. a) ; б) ; с) .

7. a) ; б) ; с) .

8. a) ; б) ; с) .

9. a) ; б) ; с) .

10. a) ; б) ; с) .