Следствия из законов сохранения

1. Теорема о движении центра масс

Ц ентром масс механической системы называется точка, положение которой определяется радиус-вектором:

В некоторых случаях при исследовании движения механической системы можно ограничиться изучением движения ее центра масс.

Теорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил

Þ Þ Þ .

1. Внутренние силы не влияют на движение центра масс.

2. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.

3. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо из осей равна нулю, то по отношению к этой оси центр масс движется равномерно или соответствующая координата центра масс постоянна.

Теорема о движении центра масс позволяет, в частности, записать дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

, , .

Примеры: снаряд, летящий по параболе, разрывается на много осколков. Так как сила взрыва – это внутренняя сила, то центр масс осколков продолжает двигаться по параболе, а суммарный импульс осколков в момент разрыва равен импульсу снаряда до разрыва согласно закону сохранения импульса.

Диаграмма импульсов

Соударение бильярдных шаров: ;

p₁

;

     

2. Качение тел

тело массой m скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости

Уравнения движения:

Закон сохранения энергии:

К атушка с намотанной нитью (без проскальзывания):

1. Вращается по часовой стрелке, сила трения направлена влево; уравнения движения:

2. катушка покоится: моменты сил F₂ и F_тр относительно точки О равны нулю (!) Катушка не может вращаться (!)

3. Вращается против часовой стрелки, сила трения направлена влево она совпадает с направлением ускорения; уравнения движения:

4. Сила F₄ создает положительный вращательный момент, а момент силы трения ему противодействует; поступательное движение центра масс создают две силы F₄ и F_тр; уравнения движения:

3. Движение в потенциальном поле сил

Потенциальная энергия является функцией координат и может быть определена только в поле консервативных сил так что .

Перемещение . Соответственно изменение потенциальной энергии по каждому направлению

  Это можно переписать

После этого записать вектор силы через градиент потенциальной энергии

Где векторный оператор набла

связывает вектор силы и потенциальную энергию

.

Закон Ньютона примет вид ; . .

     Пример. . Найти вектор силы.

     Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия W имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению W соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение в сторону уменьшения W, тогда W < 0, и, т.е. вектор силы направлен в сторону уменьшения потенциальной энергии W.

Эквипотенциальные поверхности и направление силы

Потенциальная яма – область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы.

Если в потенциальную яму попала частица, энергия которой ниже, чем необходимая для преодоления краёв ямы, то возникнут колебания частицы в яме. Амплитуда колебаний будет обусловлена собственной энергией частицы. Частица, находящаяся на дне потенциальной ямы, пребывает в состоянии устойчивого равновесия, то есть при отклонении частицы от точки минимума потенциальной энергии возникает сила, направленная в противоположную отклонению сторону.

Потенциальный барьер

Для одномерных полей:

Если задан график силы, то потенциальная энергия находится как интеграл от силы со знаком минус

Если задан график потенциальной энергии, то зависимость силы от координаты находится через производную со знаком минус

.

Пример: найти период движения частицы массой m с полной энергией Е₀ для заданной . Из закона сохранения энергии или .

Выразим время как функцию от энергии и проинтегрируем от 0 до A.

Замена переменной .

это время составляет четвертую часть периода, значит период движения частицы в параболической потенциальной яме

.

К инематика вращательно-поступательного движения

Скорость i-ой точки

Скорость относительно ЦМ

Т очка находится на ободе колеса:

; ; ;

С к о р о с т ь т о ч к и к о л е с а