2 Характеристики инертности механической системы

При поступательном движении твердого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой его инертности является масса тела. При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно оси вращения. Поэтому до исследования различных видов движения твердого тела следует рассмотреть вычисление моментов инерции твердых тел и установить основные теоремы о моментах инерции, имеющие важное значение в динамике твердого тела. Для установления понятий моментов инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса проведем через произвольную точку О три вза­имно перпендикулярные координатные оси х, у, z и изобразим координатные плоскости y0z, zОх и хОу (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Рассмотрим заданное твердое тело как множество материальных точек М_i (i=1,2,3,...,n).

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

Для определения моментов инерции тела относительно координат­ных плоскостей опустим из каждой точки тела M_i перпендикуляры на плоскости уОz, z0x, x0y:

.

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно коорди­натных плоскостей :

(5.8)

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведения массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси.

Для определения моментов инерции твердого тела относительно координатных осей опустим из каждой точки тела М_i на оси х, у, z перпендикуляры M_iA_i, M_iB_i, M_iD_i. Квадраты этих перпендикуляров

Обозначим моменты инерции твердого тела относительно коорди­натных осей :

(5.9)

Моментом инерции твердого тела относительно полюса (поляр­ным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до этого полюса.

Обозначим J_о момент инерции твердого тела относительно по­люса О:

. (5.10)

Между моментами инерции твердого тела относительно координат­ных плоскостей, координатных осей и начала координат существуют следующие зависимости:

(5.11)

откуда

(5.12)

(5.13)

Эти зависимости используются при вычислении моментов инерции твердых тел. Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квад­рат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относи­тельно этой оси:

, (5.14)

где т — масса тела; i_z — радиус инерции тела относительно оси z.

Формула (5.14) показывает, что радиус инерции i_z определяет рас­стояние от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу m тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси был равен моменту инерции тела. Момент инерции твердого тела относительно оси как сумма положительных слагаемых всегда поло­жителен и не может быть равен нулю. Единицей момента инерции в системе МКС является 1кг∙м², а в системе СГС - 1 гс∙м². В технической системе единиц МКГСС за единицу момента инерции принимается 1 кг∙см∙с².