4. Понятие об устойчивости равновесия механической системы

Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения покоя, совершает колебания около этого положения. Состояние покоя механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения и колебаний около этого положения не возникает. Состояние покоя механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и в новом положе­нии может оставаться в состояния покоя. Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем. Представим себе механическую систему с голономными стацио­нарными связями, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему, как указывалось выше, называют консерва­тивной.

Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид (13.24):

.

Из уравнений (13.24) следует, что положениям покоя консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы.

Однако по уравнениям равновесия сил (13.24) нельзя судить об устойчивости состояния покоя в этих положениях системы. Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в тео­реме Лагранжа — Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положе­ния покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя.

Для консервативной системы с одной степенью свободы положения покоя определяются одним уравнением

. (13.25)

Рис. 13.6

Чтобы определить, устойчиво ли состояние покоя в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум. В том случае, если

. (13.26)

условие минимума выполнено.

Если же следовательно, вторая производ­ная не может служить критерием минимума потенциальной энергии. В этом случае необходимо вычислить последовательные производные .

Если первая не равная нулю производная имеет четный порядок и при этом положительна, то при q=q_покоя потенциальная энергия имеет минимум, а следовательно, это положение покоя системы устойчиво.

Если же первая неравная нулю производная имеет нечетный порядок, то при q=q_покоя нет ни максимума, ни минимума.

Критерий Лагранжа - Дирихле является достаточным (но не необ­ходимым) условием устойчивости состояния покоя системы в поле кон­сервативных сил.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова. На рис. 13.6, а изображено положение покоя физического маятника, соответствующее наинизшему положению его центра тяжести. В этом положении потенциальная энергия маятника в поле силы тяжести имеет минимум, и это состояние покоя является устойчивым. Если вывести маятник из этого положения, отклонив его на некоторый угол в вертикальной плоскости, то он начнет качаться вокруг оси привеса. На рис. 6, б изображен маятник в том положении, при котором его центр тяжести занимает наивысшее положение. В этом положении потенциальная энергия маятника имеет максимум, и это состояние покоя является неустойчивым. Если вывести маятник из этого положения, то он не возвратится в первоначальное положение.

На рис. 13.6, в изображен шарик, находящийся на горизонтальной плоскости. Состояние покоя шарика является безразличным. Потен­циальная энергия шарика в любом положении на плоскости не имеет ни минимума, ни максимума, являясь постоянной величиной, не изме­няющейся при изменении положения шарика.

Рис. 13.7

Пример. Определить условие устойчивости состояния покоя метронома, изображенного на рис. 13.7, представляющего собой маятник с двумя грузами А и В, если вес этих грузов G₁ и G₂, а их расстояния от точки О соответ­ственно равны l₁ и l₂; весом стержня пренебречь.

Решение. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью метронома с вертикалью. Проведем через точку О (ось метронома) координатные оси Ох и Оy.

Потенциальная энергия рассматриваемой системы в поле сил тяжести

.

При расположении груза А внизу

.

Поэтому

.

Найдем первую м вторую производные от потенциальной энергии по обобщен­ной координате φ:

В состоянии покоя

.

Это возможно а двух случаях:

1) если , т. е. ;

2) если sin φ= 0, т. е. φ₁= 0 или φ₂= 180°.

При нет ни максимума, ни минимума потенциальной энергии , а потому этому случаю соответствует безразличное равновесие.

Найдем соотношение между G₁ и G₂, при котором φ= 0 и метроном нахо­дится в устойчивом состоянии покоя:

.