Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Визначити довжину хвилі λ_max, яка відповідає максимумові спектральної випромінювальної здатності волоска лампи розжарювання, площа поверхні якої S=2,5∙10^-5м². Потужність, яка споживається лампою, Р=50 Вт. Вважати волосок лампи сірим тілом, поглинальна здатність якого а = 0,3. Внаслідок теплопровідності іншим тілам передається частка η = 0,2 від енергії, яка споживається лампою.

Розв’язання.

За законом Віна (5.53) , де b = 2,89∙10^-3 м∙К. (1)

Визначимо температури волоска лампи. На розжарювання волоска витрачається доля (1-η) потужності Р, яку споживає лампа. Отже

Р_кор.= .

Відповідно енергетична світність лампи

. (2)

Оскільки лампа є сірим тілом її енергетична світність за формулою (6.49)

а . (3)

За формулами (2) і (3)

а .

Звідки

і

.

Перевіряємо одиниці вимірювання:

.

Після підстановки значень знаходимо

м.

Відповідь: λ_max = 8,78∙10^-7м.

Приклад 2. На поверхню літію падає монохроматичне світло (λ = 0,310мкм). Для припинення фотоефекту треба прикласти гальмівну напругу U_г=1,7 В. Визначити роботу виходу електрона з метала та „червону межу” фотоефекту.

Розв’язання.

Записуємо рівняння Ейнштейна для фотоефекту (5.59) з урахуванням зв’язку між частотою фотона ν і довжиною хвилі λ.

,

де с – швидкість світла.

Оскільки навіть найбільш швидкі електрони затримуються електричним полем після проходження в ньому відстані, яка відповідає різниці потенціалів U_г, то їх кінетична енергія безпосередньо після виходу з металу пов’язана з величиною U_г співвідношенням

,

Тоді , звідки .

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Обчислюємо значення А=6,63∙10^-34∙ =3,70∙10^-19Дж=2,3 еВ.

За формулою (5.60) знаходимо червону межу фотоефекту: .

Перевіряємо одиницю вимірювання .

Обчислення: λ₀ = м=0,538 мкм.

Відповідь: λ₀ = 0,538 мкм.

Приклад 3. На поверхню цинку падають γ-промені з довжиною хвилі λ=2∙10^-12м. Визначити максимальну швидкість фотоелектронів, які вириваються з поверхня цинку.

Розв’язання.

Порівняємо енергію γ-квантів з роботою виходу електронів з цинку, яка дорівнює А=6,4∙10^-19Дж=4,7 еВ. Енергія фотона γ-променів

Дж.

З урахуванням співвідношення 1МеВ = 1,6∙10^-13 Дж отримуємо: ε = 0,622 Мев >> А, тобто роботою виходу можна знехтувати порівняно з енергією фотона і вважати, що максимальна кінетична енергія електрона дорівнює енергії γ-кванта: Т = ε = 0,62 Мев.

У даному випадку кінетична енергія електрона більша за його власну енергію (енергію спокою) Е₀=m₀c² = 9,11∙10^-31∙(3∙10⁸)²Дж = 8,20∙10^-14 Дж = 0,51 Мев. Тому для обчислення швидкості електрона слід використати релятивістську формулу кінетичної енергії (5.47).

, де β=v/с.

Звідки після відповідних перетворень отримуємо .

,

звідки м/с = 2,67∙10⁸ м/с.

Відповідь: v = 2,67∙10⁸ м/с.

Приклад 4. Внаслідок ефекту Комптона фотон з енергією МеВ при зіткненні з електроном був розсіяний на кут θ=90^о.Визначити енергію розсіяного фотона.

Розв’язання

Для визначення енергії розсіяного фотона скористаємося формулою Комптона

= , (1)

де λ₂, λ₁ – довжини падаючої та розсіяної хвиль випромінювання. Виразимо довжини хвиль λ₂ і λ₁ через енергії і відповідних фотонів, скориставшись формулою . Одночасно помножимо чисельник і знаменник правої частини формули (1) на швидкість світла с:

.

Скорочуємо на і виражаємо з отриманої формули шукану енергію

= ,

де = 0,51Мев - енергія спокою електрона в мегаелектрон-вольтах.

Обчислення дає МеВ = 0,4МеВ.

Відповідь: =0,4МеВ.

Приклад 5. Визначити імпульс р та кінетичну енергію Е_к електрона, що рухається зі швидкістю 0.9с (с – швидкість світла у вакуумі).

Розв’язання

Імпульс – це добуток маси на швидкість: р = mv, де m – залежна від швидкості маса, оскільки електрон рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла у вакуумі:

, де β = v/c = 0.9 (за умовою задачі).

Таким чином, = кг м/с = 5,6 10^-22кг м/с.

У релятивістському випадку кінетична енергія частинки визначається як різниця між повною енергією Е та енергією спокою Е₀, тому

Дж = 0,66МеВ.

Приклад 6. Знайти довжину хвилі де Бройля електрона, який має кінетичну енергію Е_к = 5МеВ.

Розв’язання

Довжина хвилі де Бройля частинки з імпульсом р дорівнює λ = h/р.

Таким чином, для розв’язання задачі треба знайти зв’язок між релятивістським імпульсом (бо кінетична енергія електрона за умовою задачі більше, ніж енергія спокою, яка дорівнює 0,51МеВ) електрона та його кінетичною енергією.

Релятивістський імпульс пов’язаний з повною енергією частинки Е формулою:

, звідси ,

де було враховано, що Е – Е₀ = Е_к та Е + Е₀ = Е_к + 2Е₀.

Для чисельних розрахунків енергію треба виразити у джоулях:

Е_к = 5МеВ = 5 10⁶ 1,60 10^-19Дж = 8,00 10^-13Дж;

Е₀ = 0,5МеВ = 0,8 10^-13Дж.

Тоді отримуємо для імпульсу р = 2,93 10^-21кг м/с, а для довжини хвилі де Бройля :

λ = 2,26 10^-13м = 22,6 пм.

Приклад 7. Чому дорівнює розмір ядра, оцінений за співвідношенням невизначеностей, якщо прийняти, що енергія нуклона у ядрі порядку 8МеВ?

Розв’язання

Співвідношення невизначеностей для координати та імпульсу має вигляд: . Припустимо, що нуклон у ядрі знаходиться в області з невизначеністю x = R/2, тоді R ≥2ћ/Δp.

Фізично розумна невизначеність імпульсу не повинна перевищувати значення самого імпульсу. Імпульс пов’язаний з кінетичною енергією співвідношенням: р = . Таким чином

R_min = 2ћ/ = 2 1.05 10^-34/ (м)

Звідси R_min = 3 10^-15м.

Приклад 8. Знайдіть відношення невизначеностей швидкості електрона та протона, коли їх координати визначені з точністю до 10^-10м.

Розв’язання

За співвідношенням невизначеностей ΔpΔx ≥ ћ, а через швидкість . Таким чином, необхідне відношення

Δv_e/Δv_α = m _α/ m_e = 1,67 10^-27кг/9,11 10^-31кг = 1,83 10³= 1830.

Приклад 9. Визначити, яка енергія в МеВ відповідає дефекту маси Δm=1а.о.м.

Розв’язання

Енергія зв’язку пов’язана з дефектом маси формулою Е_зв = Δm с².

По-перше виразимо усі величини у системі одиниць СІ: 1а.о.м.=1,66 10²⁷кг, тоді Е_зв=1,660 10^-27кг (2,998 10⁸)²м²/c²=1,67 10^-11Дж.

1Дж = (14,92 10^-11/1,602 10^-19) еВ = 9,315 10⁸ еВ = 931,5МеВ.

Таким чином, якщо дефект маси виражати в а.о.м., то енергію зв’язку легко отримати в МеВ, якщо помножити Δm(а.о.м.) на 931,5!

Приклад 10. Записати дефект маси та енергію зв’язку ядра у зручному для розрахунків вигляді.

Розв’язання

За означенням дефект маси дорівнює різниці між масою нуклонів, що входять до складу ядра, та масою ядра:

Δm = Zm_p + Nm_n – m_я.

У таблицях приводяться маси атомів (m_a), часто виражених в атомних одиницях маси. Щоб знайти масу ядра, від неї треба відняти масу електронів, тобто m_я = m_a - Zm_e. Тоді дефект маси можна виразити у вигляді: Δm = Z(m_p + m_e) + (A - Z)m_n - m_a..

Якщо всі маси виразити в а.о.м., то, користуючись тим, що 1а.о.м. відповідає 931МеВ (дивись попередню задачу), а також тим, що m_p=1,00728а.о.м.;

m_n = 1,00867а.о.м.;

m_e = 0,00055а.о.м.;

m_p + m_e = 1,00783а.о.м.,