3.11. Розрахунок кола синусоїдного струму з паралельним з’єднанням r, l, c

Хай до кола з паралельним з’єднанням R, L, C (рис. 3.15) прикладена синусоїдна напруга ψ_u= 0.

З а першим законом Кірхгофа маємо:

і_R+i_L+i_C=і, (3.2)

або в інтегрально-диференційній формі запису

u/R+1/L∫udt+Cdu_c /dt=i.

Враховуючи, що u=u_R=u_C=u_L, спершу знайдемо струми в гілках, а потім струм на вході кола.

і_R =u/R=U_m /R sinωt =GU_m sinωt=I_mR sinωt;

i_C=C du_c /dt=C d(U_m sinωt)/dt=ωCU_m cosωt=ωCU_m sin(ωt+π/2) =

=I_mс sin(ωt+π/2);

i_L=1/L∫udt=1/L∫(U_m sinω)tdt= - U_m /ωL cosωt =U_m / ωL sin(ωt-π/2) =

=I_mL sin(ωt-π/2).

Тут I_mR= U_m /R= GU_m; I_mс= ωCU_m=В_с U_m; I_mL= U_m / ωL= В_L U_m,

або для діючих значень:

I_R= U /R= GU; I_с= ωCU=В_с U; I_L= U / ωL= В_L U,

де В_L=1/ ωL=1/ X_L [См] – індуктивна провідність;

В_с= ωC=1/ X_С [См] – ємнісна провідність.

Так як кожен доданок рівняння (3.2) змінюється за синусоїдним законом, то струм в нерозгалуженій ділянці кола повинен бути синусоїдним. Тоді:

I_mR sinωt+I_mL sin(ωt- π/2)+I_mc sin(ωt+π/2)=I_m sin(ωt+ψ_i).

В цьому рівнянні невідомі I_m (або I) та ψ_i. При ψ_u=0, ψ_i=ψ_u - φ= - φ.

Для визначення I та ψ_i зобразимо синусоїдні струми векторами для діючих значень і перейдемо до векторного рівняння:

. (3.3)

В відповідності з рівнянням (3.3) побудуємо векторну діаграму струмів (рис. 3.16). За базисний вектор, відносно якого будемо будувати інші вектори, приймемо вектор напруги, так як вона являється загальною для всіх елементів кола. Нехай .

Н а векторній діаграмі струмів ∆OAB називається трикутником струмів.

OB→I_a=I_R=UG=Icosφ= – активна складова струму;

AB→I_p=I_L-I_C=U(1/ωL–ωC)=U(B_L–B_C )=UB= =І sin φ= – реактивна складова струму,

де B_L - B_C = B [См] – реактивна провідність кола.

OA→ = – закон Ома для паралельного з’єднання R,L,C.

Тут: Y= – повна провідність кола.

Зсув фаз: φ = arctg(I_p /I_a )=arctg((B_L-B_C )/G).

Можливі випадки:

1. B_L >B_C, тобто B > 0, φ>0 – коло носить індуктивний характер.

2. B_L <B_C, тобто B < 0, φ<0 – коло носить ємнісний характер.

3. B_L=B_C, φ = 0 – коло носить активний характер (резонанс струмів).

Тепер, знаючи І та φ, знаходимо I_m і φ:

I_m= І , ψ_i=ψ_u - φ= - φ.

Отже, струм на вході кола дорівнює

і=І sin(ωt- φ).

Р озглянуті методи розрахунку синусоїдних кіл з використанням векторних діаграм називаються методом векторних діаграм.

Якщо всі сторони трикутника струмів поділити на напругу, то отримаємо йому подібний трикутник провідностей ( рис. 3.17).

OB^' → G = I_a /U =Y cos φ = – активна провідність;

B^'А^' → В= I_р /U=Y sinφ = =B_L - B_C = =1/ωL – ωC– активна провідність;

О^'А^'→Y=I /U=1/Z= – повна провідність;

φ=arctg(B/G)=arctg((1/ωL – ωC)/G) – зсув фаз.

Я кщо всі сторони трикутника струмів помножити на напругу, то отримаємо йому подібний трикутник потужностей (рис. 3.18).

P=I_a U=GU²=UI cos φ=S cos φ= [Bт] – активна потужність;

Q=I_pU=BU²=UI sin φ=S sin φ= [Bap] – реактивна потужність;

S=UI=YU²= [BA] – повна потужність;

φ = arctg (Q/P) – зсув фаз.