- •Распространение тепла в пространстве.
- •Уравнения эллиптического типа.
- •Основные задачи для уравнения Лапласа и Пуассона.
- •Функция Грина задачи Дирихле.
- •Свойства функции Грина. Задачи Дирихле
- •Функция Грина задачи Неймана.
- •Построение функции Грина.
- •Следствие из формулы Пуассона.
- •Внешняя задача Дирихле для шара.
- •Решение задачи Неймана для шара.
- •Решение краевых задач для простейших областей методом Фурье.
- •Теорема о среднем значении (Гаусса).
- •Теория потенциалов. Несобственные интегралы зависящие от параметра.
- •Потенциал объема и его свойства.
Функция Грина задачи Дирихле.
Для функции U(M) задача Дирихле U(M)=0
Введем :g – гармоническая в D.
Пусть
Применим к g и U вторую формулу Грина
т.к. U и g гармонические
Вычтем из :
В этой формуле присутствует только U на S.
Обозначим
(*)
- функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция удовлетворяющая условиям:
1. гармоническая в D, исключая точку .
2.в D функция G дополняет представление ,
где g - гармоническая в D
3. На границе (следует из (*)) - регулярная часть функции Грина.
Замечание. Для плоскости G имеет вид , тогда решение внутренней задачи Дирихле для плоскости
L – достаточно гладкая граница конечной области B
Для пространства решение внутренней задачи Дирихле
(9)
Свойства функции Грина. Задачи Дирихле
1.Функция Грина
В точке - особенность, опишем вокруг шар радиуса , это область . В G- гармоническая и не константа , при 0, r0, +.На внутренней границе функция положительная, значит >0 по принципу максимума.
2. - симметричны.
Доказательство:
Рассмотрим две произвольные точки в D: .
Рассмотрим
Рассмотрим область - полученную из D вырезанием шаров радиуса вокруг , границы этих шаров
В данной области применим вторую формулу Грина
т.к. функции гармонические
внутри
Здесь
Физический смысл, если есть в М, источник, то он действует на так же, как и действовал он на ,если бы находился в .
Рассмотрим установившееся распространение температур в результате действия постоянно действовавшего точечного источника.
Решение ищем в виде
Из опишем шар радиуса r, целиком лежащий в D и проинтегрируем это уравнение по
Используя формулу Остроградского-Гаусса
Функция Грина задачи Неймана.
U(M)=0
Введем :g – гармоническая в D.
Для U справедлива (8)
Введем в рассмотрение
Т.к. G и U гармонические, то применим вторую формулу Грина
(*)
Вычтем (*) из (8) для функции U
Обозначим через , тогда
Потребуем чтобы на S, G удовлетворяла условию
,где S площадь поверхности S
Тогда будет выполнено . Покажем это
.
Ранее было доказано, что для гармонической функции , чтобы задачи Неймана решение имеет вид
(10)
Вообще говоря функция Грина задачи Неймана не является симметричной.
Построение функции Грина.
Рассмотрим следующую задачу: построить функцию Грина задачи Дирихле для полупространства, ограниченного плоскостью z=0.
z M0(x0,y0,z0)
0 y
x M1(x1,y1,z1)
Метод отражения: из на плоскость z=0 опускаем перпендикуляр и на продолжении перпендикуляра выбираем так, что для PS если
Эта функция гармоническая всюду в D и т.к. для PS
Замечание. Для полуплоскости y>0
Построим решение внутренней задачи Дирихле для шара, найдя предварительно функцию Грина.
D :
P( , , ) Обозначим . Выберем вне шара
R следующим образом:
O r располагается на продолжении .
M0 M1 M1(x1,y1,z1)
(*)
Выберем внутри шара произвольную точку P(,,)
Найдем
Рассмотрим
Они подобны, т.к. у них есть общий угол и
(**)
всюду гармоничная кроме точки P.
Удовлетворяет свойствам функции Грина внутренней задачи Дирихле, тогда решение задачи записывается в виде
Аналогично
Из OP по теореме косинусов
Из OP
(11) –это формула Пуассона
Покажем гармоничность и считаем непрерывной
т.е. U(M)=0
Докажем, что если МN (NS), то U(M)(M).
Выберем произвольно NS, отметим что (11) справедлива, когда задача Дирихле очевидно имеет решение для (P)1, то U(M)=1,тогда
(***)
Проведем из N сферу радиуса 2,
Проведем еще одну сферу радиуса
для
т.к. r>
{т.к. U непрерывна по замкнутой сфере, то она ограниченна, то }
т.е.
т.е. (11) дает решение задачи Дирихле для шара.
Введем в рассматриваемой задаче сферические координаты
-угол, то (11) примет вид
(12)
Для плоскости в полярных координатах (11) имеет вид