§49. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі. Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

О бчислимо роботу сил електростатичного поля при переміщенні точкового заряду в однорідному полі, яке створене двома скін­ченими паралельними зарядженими площинами, розміри яких значно більші, ніж відстань d між ними. Нехай позитивний заряд q переміщається силою поля F=qE з точок 1, 2 і 3 в точку 4 (рис. 100).

Робота сил поля

.

Якщо заряд переміщається з точки 2 в точку 4, то робота

.

Підрахуємо тепер роботу переміщення заряду q із точки 3 в точку 4. Ро­зіб’ємо криву на n ділянок, кожну з яких можна з великою точністю взяти за пряму. Тоді

.

Отже, робота при переміщенні заряду у трьох випадках однакова, хоча траєкторії руху заряду різні.

Розглянемо тепер електричне поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 101).

Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траєкторії переміщується точковий заряд під дією сили з точки 1, що перебуває на відстані від джерела поля в точку 2 на відстані від нього. Робота сили на елементарному переміщенні дорівнює:

.

Робота при переміщенні заряду з точки 1 в точку 2 дорівнює:

.

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням за­ряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а елек­тростатичні сили – консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, то

.

Отже, потенціальна енергія заряду в полі заряду q у вакуумі дорівнює:

.

Домовимось вважати потенціальну енергію заряду на нескінченно великій відстані від заряду q рівною нулю. При W=0 і C=0. Тому потенціальна енергія заряду , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнює

.

Я кщо заряди та q однойменні, то потенціальна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) додат­на і зростає при зближенні цих зарядів (рис. 102). У випадку взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із зарядів до іншого.

Потенціальна енергія W заряду , що перебуває в полі точкових зарядів , , … , дорівнює сумі його потенціальних енергій W у полях, що створюються кожним зарядом зокрема:

,

де - відстань від заряду до заряду .

Величина є однакова для всіх зарядів в даній точці поля і називається потенціалом поля.

Потенціалом будь-якої точки електростатичного поля називають фі­зичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт. 1B - це потенціал такої точки поля, в якій заряд величиною 1 Кл володіє потенціальною енергією в 1 Дж.

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

.

Роботу, яку виконують електростатичні сили при переміщенні заряду від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:

,

де та - потенціали електростатичного поля в точках 1 та 2.

Якщо з точки з потенціалом заряд віддаляється в нескінченність , то робота сили поля буде дорівнювати . Звідси

.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил елек­тростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

.

Н априклад, потен­ціал поля в точці М (рис. 103), яке ство­рене зарядами , , , дорівнює

.

Електричне поле можна описати або за допомогою векторної величини , або за допомогою скалярної величини φ. Очевидно, що між цими величинами повинен існувати зв’язок.

Нехай в електростатичному полі знаходиться заряд q. Робота при переміщенні цього заряду вздовж осі ОХ між двома нескінченно близькими точками дорівнює:

.

З іншого боку, елементарна робота при переміщенні заряду q в електростатич­ному полі виражається через потенціали цього поля:

.

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримуємо:

, .

Знак „ – ” означає, що під дією сил електричного поля додатній заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей OY і ОZ:

; .

Отже, ми знайшли та – компоненти вектора напруженості E:

.

Це рівняння можна переписати так:

.

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини φ називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

.

Отже,

.

Знак „ – ” вказує на те, що вектор нап­руженості поля напрямлений в бік най­швидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

Знаючи потенціал φ в кожній точці поля, за формулою можемо обчислити напруженість в кожній точці поля.

Можна розв’язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кож­ній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

Робота при переміщені заряду з точ­ки 1 в 2 дорівнює:

,

але, з іншого боку,

.

Звідси

.

Інтеграл можна брати вздовж довільної лінії, яка з’єднує точки 1 та 2, оскільки електростатичне поле є консервативне.

При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і , отже

.

Ц ей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж замкненого контуру (рис. 104).

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.

Векторне поле називається по­тенціальним, якщо циркуляція вектора вздовж довільного замкненого контуру дорівнює нулю.

Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною поверхнею.

Для еквіпотенціальних поверхонь:

.

При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на відрізок dl потенціал не змінюється, а, отже, і робота

.

Звідси

.

Оскільки

; , то .

В результаті кут між E та dl дорівнює .

Вектор напруженості електрич­ного поля в кожній точці напрямлений перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальні поверхні точкового заряду – це сферичні оболонки навколо нього (рис. 105) .