§51. Застосування теореми Остроградського-Ґаусса до розрахунку електричних полів

За допомогою теореми Остроградського-Ґаусса в окремих випадках набагато простіше, ніж за формулами для напруженості точкового заряду та принципу суперпозиції, знаходити напруженість електричних полів.

Розглянемо декілька прикладів.

І. Електростатичне поле у вакуумі нескінченної зарядженої площини.

Нехай площина P заряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду (рис. 112). Для визначення напруженості поля у будь-якій точці А проведемо через цю точку і симетричну їй точку В дві площини, які паралельні до площини P. Побудуємо нескінченно вузький циліндр, основи якого dS проходять через точки А і В, а його твірна паралельна до ліній напруженості поля.

З рис. 112 видно, що потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює сумі потоків через основи циліндра, тому що потік через бічну поверхню дорівнює нулю (лінії напруженості ковзають вздовж бічної поверхні). Оскільки напрямки векторів та збігаються з напрямками нормалей, то потоки через основи dS будуть більші від нуля і числово рівні, оскільки площини та знаходяться на однаковій віддалі . Отже, потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює:

.

Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса

.

Порівнюючи ці два вирази, отримуємо

.

Оскільки напруженість поля Е не залежить від довжини циліндра, то електричне поле рівномірно зарядженої площини однорідне.

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками Q i N цього поля, що лежать на відстанях та від площини P. Оскільки,

, то .

Проінтегруємо це рівняння по х в межах від до . Позначимо потенціали в точках Q i N через та . Тоді:

; ;

.

II. Електростатичне поле між двома паралельними нескінченними площинами, зарядженими різнойменно.

Нехай маємо дві нескінченні, різнойменно заряджені площини, але з однаковими поверхневими густинами зарядів та (рис. 113).

З рис. 113 видно, що зліва від площини та справа від площини напруженості поля взаємно знищуються, оскільки вони напрямлені в протилежні сторони.

Між площинами напруженості полів мають однакові напрямки і тому тут результуюча напруженість E дорівнює сумі напруженостей та , створених обома площинами:

.

Електричне поле двох різнойменно заряджених площин локалізоване в об’ємі між цими площинами і є однорідним.

Знайдемо різницю потенціалів між площинами: . Проінтегрувавши це рівняння по х від х=0 до х=d (де d-віддаль між площинами), отримаємо:

.

Ііі. Електростатичне поле зарядженої сфери

Якщо на поверхні сфери радіуса рівномірно розподілено заряд (рис. 114),

то поверхнева густина заряду дорівнює

.

Розглянемо всередині сфери деяку точку М на відстані від її центра. З центра О проведемо допоміжну поверхню теж у вигляді сфери радіуса r. За теоремою Остроград­ського-Ґаусса обчислимо потік ліній напруженості крізь цю поверхню:

.

Оскільки всередині допоміжної поверхні радіуса немає зарядів, тобто і , то напруженість поля також дорівнює нулю:

.

Всередині зарядженої сфери електричного поля немає.

Для точок, які лежать зовні біля самої поверхні сфери, можна вважати, що . Тоді допоміжна поверхня – сфера радіуса r охоплює заряджену сферу. Заряд q міститься все­редині допоміжної поверхні і створює повний потік вектора напруженості:

.

Тоді

.

Для точок, що знаходяться на значній віддалі від поверхні зарядженої сфери , маємо

.

Графік залежності напруженості електричного поля E зарядженої сфери від відстані r між її центром і точкою, в якій визначають напруженість, подано на рис. 115.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані і від центра сфери , дорівнює

.

Якщо прийняти і , то потенціал поля поза сферичною поверхнею

.

У випадку , а , поверхня за­рядженої сфери отримає потенціал

.

Оскільки всередині сфери електрич­ного поля немає , то для переміщення одиниці заряду з поверхні в будь-яку точку всередині сфери роботу проти сил поля виконувати не потрібно. Тому потенціал точок усередині зарядженої сфери дорівнює потенціалу її поверхні.