15. Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.
Если
ф-ция z=f(x,y)
определена в нек. области D,
тогда частное приращение
.
Частная производная (1-го порядка)
называется предел отношения частного
приращения к приращению аргумента:
.
Геометрический
смысл производных:
частная производная ф-ции z=f(x,y)
по х в т.(
)
равна тангенсу угла с осью ОХ касательной
к кривой, получаемой при пересечении
с повехностью
плоскости
,
,
аналогично
.
16. Полный дифференциал функции двух и трёх переменных.
Запишем
выр. для полного приращения z=f(x,y):
.
В пра. части равенства прибавим и отнимем
:
Преобразуем кажд. скобку используя т.Лагранжа:
1).
,
-т.ка
между y
и
.
2).
,
-т.ка
между x
и
.
рассматривая
это равенство и беря предел обеих его
частей при
и
получим:
.
Используя теорему о том, что если ф-ция
имеет предел, то она отличается от
предела на величину б.м. Тогда мы получим,
что
,
- б.м.в.
,
.
Если ф-ция была большего числа пер.
z=z(x,y,u):
.
-главная
часть приращения ф-ции. Как и в случае
ф-ции одного арг. дифференциал f(x,y)
есть главная часть приращения этой
ф-ции. След-но в
вычислениях можно полное приращение
ф-ции заменять на ее дифференциал.
17. Производные сложной функции нескольких аргументов.
Пусть
задана непрерывно дифференц. ф-ция
u=f(x,y,z),
где в свою очередь x=x(t),
y=y(t),
z=z(t)
являются непрерывно дифференцируемыми
ф-циями переменной t.
Тем самым определена сложная ф-ция
u=f(x(t),y(t),z(t))
одной переменной t.
Найдем производную этой ф-ции в т.t.
Для этого придадим переменной t
приращение
.
Оно вызовет приращения ф-ции
,
причем при
таже
в силу дифференцируемости ф-ции
.
В силу дифференцируемости ф-ции
u=f(x,y,z)
ее полное приращение
в точке
:
,
где
,
а частные производные
вычислены в точке (x(t),y(t),z(t)).
Разделив все члены равенства (1) на
и перейдя в полученном выражении к
пределу при
в силу дифференцируемости ф-ций x,y,z
по переменной t,
получим:
.
Покажем, что
.
В самом деле:
.
Т.о, окончательно равенство примет вид:
или
.
Эти рав-ва часто наз-ют цепочным
правилом дифференцирования сложной
ф-ции.
18. Полная производная+ур. кас. и нормали.
Пусть
u=f(z,y,z),
где y=y(x),
z=z(x).
Найдем
.
Используя ф-лу
,
при t=x,
получаем:
- это формула
полной производной.
Пусть теперь задана непрерывно
дифференцируемая ф-ция u=f(x,y,z),
где в свою очередь x=x(s,t),
y=y(s,t),
z=z(s,t)
– непрерывно дифференцируемые ф-ции
переменных s,t.
Тем самым определена сложная ф-ция
u=f(x(s,t),y(s,t),z(s,t))=
двух переменных s,t.
Получим ф-лу для вычисления ее частных
производных. Т.к. при вычислении ее
частных производных ф-ции
одна из переменных фиксируется, то этот
случай по сути дела сводится к
рассмотренному выше и, согласно
,
ф-лы для вычисления частных производных
и
:
;
.
Касательная
плоскость и нормаль к поверхности:
касательная
плоскость к пов-ти z=f(x,y)
в т.
и содержащая касательные, проведенные
ко всем кривым, лежащим на пов-ти и
проходящим через т.
.
Нормаль
– перпендик.
к касат. плоскости в этой точке
.
Уравнение касс. к плоскости, если пов-ть
была задана в явном виде, то:
.
Если ур. пов-ти было задано в неявной
ф-ме:
.
Ур-ния
нормали для кажд. способа задания
пов-ти:
,
.