- •1). Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •2).Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.
- •6). Интегралы вида: , .
- •7). Интегралы вида: .
- •10). Понятие определённого интеграла, основные свойства определённого интеграла, его вычисление.
- •11.Вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг с помощью определённого интеграла.
- •11’.Интегрирование по частям и замена переменной под знаком определённого интеграла.
- •12. Несобственные интегралы 1-го рода.
- •13. Несобственные интегралы 2-го рода.
- •14. Понятие функции нескольких переменных. Предел в точке, непрерывность.
- •15. Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.
- •16. Полный дифференциал функции двух и трёх переменных.
- •17. Производные сложной функции нескольких аргументов.
- •19. Дифференцирование неявных функций.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •21. Локальный экстремум функции двух аргументов.
- •22. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения функции двух аргументов в замкнутой области.
- •24. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, основные свойства.
- •25. Вычисление двойного интеграла в дск.
- •26. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •27. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойного интеграла.
- •28. Тройной интеграл. Определение, основные свойства. Его вычисление в декартовых координатах.
- •29. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •30. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •31. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление.
- •32. Криволинейный интеграл 2-го рода, его определение, свойства и вычисление.
- •33. Криволинейный интеграл 2-го рода как работа переменной силы на криволинейном пути.
- •34. Вычисление площади плоской фигуры с помощью кри-2.
- •35. Формула Грина.
- •36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу.
- •37. Поверхностный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл 2-го рода.
- •38. Вычисление массы поверхности.
- •39. Скалярное поле, производная по направлению.
- •40. Градиент.
- •41. Векторное поле. Дивергенция.
- •42. Поток векторного поля.
- •43. Формула Остроградского.
- •44. Формула Стокса.
- •45. Оператор Гамильтона.
- •46. Оператор Лапласа.
- •47. Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •48. Соленоидальное векторное поле.
- •49. Гармоническое векторное поле.
19. Дифференцирование неявных функций.
, определяет z как функцию x,y. , , если F зависела от x,y,t,z и определяла z как неявную ф-цию арг-ов x,y,t, то мы бы нашли аналогичным образом.
20. Частные производные высших порядков.
Если частные производные первого порядка ф-ции u=f( ) являются дифференцируемыми, то частными производными 2-го порядка наз-ся производная от ее частных производных первого порядка. Обозначение: и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше первого. Если возникающие при многократном дифференцировании «смешанные производные» непрерывны, то рез-т не зависит от порядка дифференцирования.
Дифференциалом 2-го порядка ф-ции наз. дифференциал от дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как ф-ция переменных при фиксированных : . Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка и m-го порядка:
. Дифференциал m-го порядка ф-ции, где ( ) – независимые переменные, выражается символич. ф-лой:
, кот. формально раскрывается по биномиальному закону, например, для ф-ции двух независимых переменных z=f(x,y) имеем ,
.
21. Локальный экстремум функции двух аргументов.
z=z(z,y). т. ( ) наз-ся т. максимума этой ф-ции, если z( )>z(x,y), (x,y) – точка достаточно близкая к .
т. наз-ся минимума ф-ции, если z( )>z(x,y),для всех точек (x,y); достаточно близкая к ( ).
Здесь и в дальнейшем мы полагаем, что ф-ция z рассм-ся в области ее определения D и все упоминаемые точки также берутся в области D. Предполагаем также z=z(x,y) дифференцируемая в кажд. точке обл. D (за исключением отдельных точек, где частные производные могутнее сущ-ть).
теорема 1: необходимый признак сущ-ния экстремума: z=z(x,y) достигает в т.М экстремума, то в т.М обе производные: равны 0 (или не сущ-ют). Точки, в кот. частные производные =0 (или не сущ-ют) наз-ся стационарными точками этой ф-ции.
теорема 2: достаточные условия сущ-ния экстремума: ф-ция z определена и непрерывна в обл. D. Пусть она такде в эт. обл. имеет нерпрер. частные производные до 3-го пор. включительно и пусть ( ) есть стацион. точка. Тогда:
I). , max AC- >0, A<0
II). , min AC- >0, A>0
III). , нет экстремума.
Из критерия Сильвестра: , , , .
22. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
z=f(x,y), причем аргументы x,y связаны нек. соотношением: (2). Требуется найти экстремум функции z, кот. в данном случае наз-ся условным экстремумом. Естейственно, что ф-ция z рассм-ся в нек. обл. D, где сама ф-ция и ее производные непрерывны; это же относится и к ф-ции .
(3). Продифференцировав 2 по арг. x как ф-цию зад. неявно: (4). Умножим обе части ур. 4 на нек. неизв. множитель и сложим с ур. 3 (и приведем подобные члены): (5). Подберем λ т.о., чтобы 2-ая ск. рав-ва 5 обратилась в 0.
,(6) тогда необходимо, чтобы и 1-я ск. 5 в 0, учтем, что есть ур. 2. Решаем сист. и нах. λ. После того как нашли λ, найдем пары значений (x,y): это и будут стационарные точки данной ф-ции. Итак, найдя пары значений (x,y) мы определим лишь стац. т-ки, т.е. т-ки в кот. вып-ся необх. условие сущ-ния экстремума. Что касается достаточных условий сущ-ния экстремума, то их нет и вопрос о сущ-нии экстремумов реш-ся из нек. доп. соображений по отношению к кажд. задаче.
Заметим, что левые части системы (6) есть частные производные по переменным x,y,λ от ф-ции (7). Эта ф-ция F наз-ся ф-цией Лагранжа, а множитель λ – множитель Лагранжа. Замечание: для наших целей сомножитель λ имеет только вспом. роль и после того как найдены стацион. т-ки, он больше не нужен.
Пример:
Составим ф-цию Лагранжа: .
, , подставляем в 1 и 3: , ( )-стац. точка. Подставим в ф-цию z: .
; . .