4. Рівняння Лагранжа іі роду.
Рівняння Лагранжа ІІ роду мають вигляд:
де - кінетична енергія матеріальної системи;
- узагальнена координата, узагальнена швидкість; - узагальнена активна сила, що відповідає цій узагальненій координаті.
У відповідності з тим, що визначенню підлягає прискорення , в якості узагальненої координати обираємо – вертикальне переміщення тіла 1. Інших узагальнених координат – немає, оскільки система має один ступінь вільності .
Згідно (4.1) визначимо кінетичну енергію системи через обрану узагальнену координату та узагальнену швидкість . Використовуючи (1.17) з урахуванням , отримаємо:
Для знаходження узагальненої активної сили надамо системі можливого переміщення та запишемо роботу активних сил на цьому переміщенні.
Скориставшись виразом (1.9), маємо:
Як відомо, коефіцієнт в виразі при є узагальнена активна сила. Отже:
(4.4)
Оскільки: а , підставляючи (4.4) та (4.2) в рівняння Лагранжа ІІ роду:
отримаємо результат, тотожній (1.23).
В разі необхідності знаходження наприклад , в якості узагальненої координати треба обирати кут повороту тіла 3 - (тоді узагальнена швидкість ).
5. Метод кінетостатики.
Інший спосіб вирішення вищезазначеної задачі пов'язаний з необхідністю складання диференціальних рівнянь руху кожного тіла окремо і подальшого вирішення цих рівнянь як системи.
Кожне з тіл подумки укладемо в замкнутий об’єм (рис. 6). До зовнішніх сил в цьому випадку додаються також сили натягу ниток (i=1,2,3).
Дуже важливим питанням при вирішені задачі цим методом є правильний вибір напрямків вісей, в яких досліджуется рух тіл. Для кожного з тіл покажемо додатній напрямок вісей х, вздовж яких тіла рухаються поступально та прискорено (вісі ) і додатній напрямок вісей z, навколо яких тіла прискорено обертаються (вісі
Як відомо диференціальне рівняння поступального руху тіла записується як , а обертального - . Рівняння плоскопаралельного руху – сукупність двох вище наведених рівнянь.
Отже, рівняння поступального руху тіла 1 вздовж вісі х1 має вигляд:
. (5.1)
Рівняння обертального руху диска 2 навколо вісі z2 має вигляд:
. (5.2)
Рівняння плоскопаралельного руху тіла 3 складаєтся з рівняння поступального руху центру мас вздовж вісі х3 та рівняння обертального руху навколо вісі z3, що проходить через центр мас
, (5.3)
. (5.4)
Рівняння поступального руху тіла 4 вздовж вісі х4 виглядає так:
. (5.5)
Розглядаючи рівняння (5.1-5.5) як систему рівнянь, з урахуванням , отримаємо:
(5.6)
Лінійні Wi та кутові εi прискорення пов’язані між собою. Їх взаємозв’язок можна отримати, взявши похідну за часом від співвідношень (1.16)
; ; ; . (5.7)
З урахуванням (5.7) систему (5.6) перепишемо у вигляді:
(5.8)
Система з п’яти рівнянь являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з п’ятьма невідомими – чотирма силами (T1, T2, T3, T4) та прискоренням W1 поступального руху тіла 1.
Нескладно побачити, що виключаючи з третього та четвертого рівнянь системи (5.8) силу тертя Fтр3 , отримаємо рівняння
. (5.9)
З урахуванням того, що – момент інерції східчастого диску 3 відносно миттєвої вісі обертання, а кутове прискорення тіла 3, можна стверджувати, що (5.9) – рівняння обертального руху диску 3 навколо миттєвої вісі обертання.
Виключаючи з перших двох рівнянь (5.8) силу натягу отримаємо:
Вирішуючи спільно рівняння (5.9) та пяте рівняння системи з системи (5.8) з метою виключення сил натягу , маємо:
=
Виражаючи з (5.10) силу :
та підставляючи (5.12) в (5.11), з урахуванням ; отримаємо:
(5.13)
Поділяючи чисельник та знаменик (5.13) на 2 , отримаємо вираз для тотожний (1.23).
В разі необхідності знаходження будь-якого іншого кінематичного параметру, наприклад , треба в (2.7) всі інші параметри виразити через :
;
Тоді система рівнянь (5.6) буде мати вигляд:
(5.15) Вирішуючи систему рівнянь (5.15) відносно , отримаємо вираз тотожній (1.30).
Література
1. Решебник
2. Методичка Шальда
3. Ссылка на Кильчевского