Линейные пространства

§ 1. Понятие линейного пространства

Определение. Множество Z называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:

а) задан закон (операция сложения), по которому любым двум элемен-

там и из сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначается

+ ;

б) задан закон (операция умножения на число), по которому элементу

из и числу α сопоставляется элемент из Z, называемый произведением

на α и обозначается α ;

в) для любых элементов , , из и любых чисел α и β выполне­ны

следующие требования (аксиомы):

1. + = +

2. ( + ) + = + ( + )

2. Существует элемент такой, что для каждого из выполнено ра­венство + 0 =

2. Для каждого уществует элемент такой, что + ( - )= .

3. α( + ) = α + α .

4. (α + β) х = α + β .

5. α (β ) =( α β) .

6. 1· = .

Примеры линейных пространств:

1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной алгебры.

2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые скла­дываются и умножаются на число по обычным правилам алгебры.

3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк)

= (x₁, x₂, …, x_n), если действия над строками определяются следующим образом:

+ = (x₁, x₂, …x_n) + (y₁, y₂, …y_n), = (x₁+y₁, x₂+y₂, …x_n+y_n).

α = α (x₁, x₂, …x_n) = (αx₁, αx₂, … αx_n).

Данное линейное пространство строк обозначим R_n.

§2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Определение. Векторы ( ₁, ₂, … _m) называются линейно«зависимыми, если существуют такие числа α₁, α₂, … α_m, из которых хотя бы одно не равно нулю, что α_{1 1}+α_{2 2}+ …+ α_{m n} = 0.

Определение. Векторы ( ₁, ₂, … _m) называются линейно независимыми, если равенство α_{1 1}+α_{2 2}+ …+ α_{m m} = возможно только при α₁ = α₂ = …α_m = 0.

Определение. Если вектор , выражается через векторы ₁, ₂, … ₃ в виде

= α_{1 1}+α_{2 2}+ …+ α_{s s}, то вектор называется линейной ком­бинацией векторов ₁, ₂, … _s

Теорема. Векторы ₁, ₂, … _m линейно зависимы тогда и только то­гда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Пусть даны га векторов пространства R_n:

₁ =( ₁₁, ₁₂, … _1n),…, _m =( _m1, _m2, … _mm). Необходимо выяснить, при

каких условиях данные m векторов линейно зависимы или линейно независимы. Рассмотрим векторное равенство:

α₁ (x₁₁, x₁₂, …x_1n) + α₂ (x₂₁, x₂₂, …x_2n) + …+ α_m (x_m1, x_m2, …x_mn) = (0; 0; 0...0). Векторное равенство равносильно системы уравнений:

Если данная однородная система имеет только нулевое

α₁ = α₂ = …α_m = 0, то векторы линейно независимы.

Систему решаем методом Гаусса.

Если система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы. Пример. Исследовать на линейную зависимость векторы

₁=(1;2;3;4;1), ₂=(2;-1;1;2;3), ₃=(3;1;4;6;4)

Решение: α₁(1;2;3;4;1) + α₂(2;-1;1;2;3) + α₃(3;1;4;6;4) = (0;0;0;0;0)

Система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Следова­тельно, векторы линейно зависимы.